La loi des mailles

La loi des nœuds parle des courants, la loi des mailles parle des tensions. Ensemble, elles suffisent à écrire toutes les équations d'un circuit. Au programme : parcourir une maille dans un sens choisi, compter chaque tension avec le bon signe, et calculer le potentiel d'un point en suivant un chemin. On verra aussi pourquoi certaines mailles n'apportent rien de nouveau. À la fin, tu dois pouvoir écrire l'équation d'une maille de quatre ou cinq dipôles sans te tromper de signe, du premier coup.

Pense à une randonnée en boucle sur les collines du Fouta-Djalon ou des Laurentides. Tu montes, tu descends, tu remontes, mais quand tu reviens au point de départ, ton dénivelé total est nul. Le potentiel électrique se comporte comme une altitude. Si tu fais le tour d'une maille en additionnant toutes les tensions rencontrées, avec leur signe, tu reviens au potentiel de départ : la somme est nulle. Elle s'applique aux résistances, aux LED, aux piles, aux condensateurs, à tout ce qui se trouve sur la boucle, à une condition : que le circuit soit petit devant la longueur d'onde des signaux. C'est le cas de tous tes montages ; en radio, ce n'est plus toujours vrai, tu le verras au module 7.

Voici une méthode qui marche à tous les coups. Tu choisis un sens de parcours pour la maille, par exemple le sens des aiguilles d'une montre, et tu le dessines par une petite flèche courbe au centre de la maille. Puis tu fais le tour. Pour chaque dipôle, tu regardes la flèche de tension que tu as posée : si elle va dans ton sens de parcours, tu écris la tension avec un signe plus ; sinon, avec un signe moins. Tu égales le tout à zéro. Ensuite seulement, tu remplaces les tensions des résistances par R fois I, en respectant la convention récepteur.

Prends une pile de 4,5 volts, une résistance de 150 ohms et une LED rouge, tous en série. Il n'y a qu'une maille. En la parcourant, la loi des mailles donne : la tension de la pile égale la tension de la résistance plus la tension de la LED. La LED garde environ deux volts, selon sa fiche. Il reste donc environ 2,5 volts pour la résistance. La loi d'Ohm te donne enfin le courant : 2,5 divisé par 150, soit environ 16,7 milliampères. Tu vois comment les deux lois travaillent ensemble : Kirchhoff partage les tensions, Ohm transforme une tension en courant.

La loi des mailles a une conséquence très pratique : les tensions s'additionnent le long d'un chemin. La tension entre A et C est la somme de la tension entre A et B et de celle entre B et C. Pour trouver le potentiel d'un point, tu pars de la masse, à zéro volt, et tu marches jusqu'à ce point en ajoutant ou en retranchant chaque tension rencontrée. Tu peux choisir n'importe quel chemin, tu dois trouver le même résultat. Si deux chemins te donnent deux valeurs différentes, tu tiens une erreur de signe : c'est un très bon moyen de contrôler tes calculs.

Une maille peut contenir plusieurs sources, et elles ne poussent pas toujours dans le même sens. Imagine la lampe torche d'un vendeur de nuit à Cotonou : trois piles de 1,5 volt en série, dont une glissée à l'envers par erreur. Parcours la maille dans le sens où poussent les deux piles bien placées : tu comptes plus 1,5, plus 1,5, puis moins 1,5 pour la pile retournée, et moins dix fois I pour l'ampoule, assimilée à une résistance de dix ohms. Le courant vaut 0,15 ampère au lieu de 0,45 : la lampe éclaire faiblement. Surtout, ce courant entre dans la pile retournée par sa borne plus : elle reçoit environ 0,23 watt au lieu d'en fournir. Une pile alcaline n'est pas faite pour cela : elle chauffe et risque de couler. Le modèle néglige les résistances internes, mais le sens du courant, lui, est juste.

Combien de mailles faut-il écrire ? Prends un réseau en échelle : trois fenêtres côte à côte. Tu peux y tracer six boucles, chaque fenêtre seule, deux fenêtres voisines réunies, ou le tour complet. Pourtant, seules trois apportent une information nouvelle ; les équations des autres s'obtiennent en additionnant celles des fenêtres. Pour ne garder que des mailles indépendantes, impose-toi une règle : chaque nouvelle maille doit passer par au moins une branche encore jamais utilisée. Le compte se fait d'avance : nombre de branches, moins nombre de nœuds, plus un. Sur un schéma dessiné sans croisement, c'est simplement le nombre de fenêtres. Garder une maille en trop, c'est croire tenir une équation qui n'existe pas, et ton système n'aura plus de solution unique.

La loi des mailles traduit le fait que le potentiel revient à sa valeur de départ quand on fait le tour d'une boucle. Tu choisis un sens de parcours, tu comptes chaque tension avec le signe donné par sa flèche, et tu égales la somme à zéro. Tu sais aussi calculer le potentiel d'un point en marchant depuis la masse, et vérifier ton calcul par un autre chemin. Enfin, tu ne gardes que des mailles indépendantes. Avec ces deux lois, tu as tout ce qu'il faut pour mettre en équation un circuit de sources et de résistances.