Du cahier des charges à l'équation

« L'alarme se déclenche si au moins deux capteurs sur trois détectent le problème. » Un circuit numérique commence toujours par une phrase de ce genre, écrite par un client, un enseignant ou un chef de projet. Ton travail est de la transformer en équation, sans rien oublier ni rien inventer. La méthode tient en quatre étapes : nommer les variables, remplir la table de vérité, écrire l'équation sous forme de somme de produits, puis noter les combinaisons qui ne peuvent jamais se produire. On l'applique à ce vote majoritaire de trois capteurs, qu'on retrouve dans beaucoup d'installations ; tu pourras ensuite la mener seul sur n'importe quel cahier des charges court.

Première étape : nommer. Donne une lettre à chaque entrée et à chaque sortie, puis écris noir sur blanc ce que signifie l'état 1 pour chacune. Par exemple : A égale 1 si le capteur A détecte de l'eau ; P égale 1 si la pompe doit tourner. Cette précaution paraît évidente, mais beaucoup d'erreurs viennent de là. Certains capteurs donnent 0 quand ils détectent quelque chose, et un bouton d'arrêt d'urgence est souvent câblé pour donner 0 quand on appuie, afin qu'un fil coupé arrête aussi la machine. Sur une vraie machine, l'arrêt d'urgence coupe aussi la puissance directement. Si la convention n'est pas écrite, tu risques d'inverser toute la logique.

Voici notre exemple. Dans une installation où une fausse alarme coûte cher, par exemple l'arrêt d'une ligne de production, on place parfois trois capteurs identiques au lieu d'un. L'alarme ne se déclenche que si au moins deux capteurs sur trois détectent le problème. Ainsi, un capteur en panne qui donne 1 en permanence ne suffit pas à tout arrêter, et un capteur en panne qui reste à 0 n'empêche pas l'alarme. On appelle cela un vote majoritaire. Les entrées sont A, B et C, à 1 quand le capteur détecte. La sortie S vaut 1 quand l'alarme doit sonner.

Avec trois entrées, la table compte huit lignes. Tu les écris dans l'ordre binaire, de 000 à 111, puis tu remplis la sortie ligne par ligne en relisant le cahier des charges. Quand aucun capteur ou un seul capteur détecte, c'est-à-dire pour 000, 001, 010 et 100, la sortie vaut 0. Quand deux ou trois capteurs détectent, pour 011, 101, 110 et 111, la sortie vaut 1. Tu as quatre lignes à 1. Prends l'habitude de compter tes lignes à la fin : huit lignes pour trois entrées, ni plus ni moins. Une ligne oubliée, c'est un cas de fonctionnement que personne n'a prévu.

Pour écrire l'équation, regarde seulement les lignes où la sortie vaut 1. Chacune donne un produit, c'est-à-dire un ET de toutes les entrées. Une entrée qui vaut 1 sur la ligne s'écrit telle quelle, une entrée qui vaut 0 s'écrit barrée. La ligne 011 donne non A et B et C. La ligne 101 donne A et non B et C. Ces produits s'appellent des mintermes. L'équation complète est la somme, c'est-à-dire le OU, de tous ces produits. Pour le vote, tu obtiens une somme de quatre produits de trois variables. Elle est juste, mais longue : on la simplifiera dans les leçons suivantes.

Il existe une forme symétrique, le produit de sommes. Cette fois, tu pars des lignes où la sortie vaut 0. Chacune donne une somme, un OU de toutes les entrées, avec une règle inversée : une entrée à 0 s'écrit telle quelle, une entrée à 1 s'écrit barrée. La ligne 000 donne A plus B plus C. L'équation est le ET de toutes ces sommes. Les deux formes décrivent exactement la même fonction. Choisis celle qui a le moins de termes : s'il y a peu de 1 dans la table, prends la somme de produits ; s'il y a peu de 0, le produit de sommes.

Dernière étape : chercher les combinaisons qui ne peuvent pas se produire. Dans une cuve équipée d'un capteur de niveau bas et d'un capteur de niveau haut, l'eau ne peut pas toucher le capteur du haut sans recouvrir celui du bas. La combinaison « bas sec, haut mouillé » est donc impossible, sauf panne. Dans la table, on écrit X au lieu de 0 ou 1 : la sortie est indifférente. Ces X sont précieux, car tu pourras les remplacer par la valeur qui simplifie le plus l'équation. Mais réfléchis toujours à ce que fera le circuit en cas de panne d'un capteur.

La méthode tient en quatre étapes. Nomme chaque variable et écris ce que signifie 1. Remplis la table de vérité complète, dans l'ordre binaire. Écris la somme des produits des lignes à 1, ou le produit des sommes des lignes à 0. Marque d'un X les combinaisons impossibles. Pour t'entraîner, reprends l'exemple du portail de la leçon précédente et ajoute un bouton d'arrêt prioritaire : écris la table, puis l'équation. Dans la leçon suivante, tu apprendras les règles de l'algèbre de Boole pour réduire ces équations, et donc le nombre de portes à câbler.