Qu'est-ce qu'un système linéaire

Bienvenue dans ce parcours d'algèbre linéaire. Tu vas y apprendre le langage que les ingénieurs, les économistes et les analystes de données utilisent tous les jours, de Casablanca à Montréal. Tout commence par une question simple : comment résoudre plusieurs équations à la fois ? Dans cette leçon, tu vas voir ce qu'est une équation linéaire, ce qu'on appelle une solution, et pourquoi un système de deux équations à deux inconnues se dessine comme deux droites. À la fin, tu sauras prévoir combien de solutions un petit système peut avoir, avant même de le résoudre.

Une équation est linéaire quand chaque inconnue apparaît seule, à la puissance un, multipliée par un nombre connu qu'on appelle coefficient. Par exemple, trois x plus deux y moins z égale sept est linéaire. En revanche, dès que tu vois x au carré, un produit x fois y, une racine carrée ou une inconnue au dénominateur, l'équation n'est plus linéaire. Ce n'est pas un détail de vocabulaire. Les équations linéaires se résolvent toujours avec la même méthode, quelle que soit leur taille, alors que les autres demandent souvent des outils bien plus lourds. C'est pour cela qu'on cherche à se ramener au cas linéaire dès qu'on le peut.

Prends une situation concrète. À Abidjan, Koffi vend des jus de fruits en bouteilles de deux tailles. La petite coûte deux unités, la grande trois unités : ce sont des prix d'exemple. Ce matin, il a vendu dix bouteilles et encaissé vingt-six unités, mais il n'a pas noté combien de chaque taille. Appelle x le nombre de petites bouteilles et y le nombre de grandes. Le nombre total donne x plus y égale dix. L'argent encaissé donne deux x plus trois y égale vingt-six. Tu viens d'écrire un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Garde-le en tête, on va le résoudre.

Une solution du système, c'est un couple de valeurs qui vérifie toutes les équations en même temps. Essaie quatre petites et six grandes bouteilles. Quatre plus six font bien dix, et deux fois quatre plus trois fois six font huit plus dix-huit, soit vingt-six. Le couple quatre, six est donc une solution. Le couple cinq, cinq vérifie la première équation, mais il donne vingt-cinq unités, pas vingt-six : ce n'est pas une solution. Attention au mot résoudre. Il ne veut pas dire trouver une solution, mais les trouver toutes, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. Ici, tu verras qu'il n'y en a qu'une.

Dans le plan, l'ensemble des points qui vérifient une équation linéaire à deux inconnues forme une droite. Trace la droite x plus y égale dix : elle passe par les points zéro, dix et dix, zéro. Trace ensuite deux x plus trois y égale vingt-six : elle passe par le point treize, zéro et par le point quatre, six. Les deux droites se coupent en un seul point, le point quatre, six. Résoudre le système, c'est chercher les points communs à toutes les droites. Ce dessin ne sert pas à calculer, car il manque de précision. Il sert à comprendre ce qui peut arriver.

Deux droites du plan n'ont que trois façons de se rencontrer. Elles se coupent en un point, et le système a une seule solution. Elles sont parallèles et distinctes, par exemple x plus y égale dix et x plus y égale douze : aucune solution, le système est dit incompatible. Ou elles sont confondues, par exemple x plus y égale dix et deux x plus deux y égale vingt : tous les points de la droite conviennent, il y a une infinité de solutions. Retiens ce résultat, qui reste vrai pour n'importe quel système linéaire : zéro, une ou une infinité de solutions. Jamais exactement deux ou trois.

Récapitulons. Une équation linéaire ne contient que des inconnues seules, à la puissance un, multipliées par des nombres. Une solution vérifie toutes les équations à la fois, et résoudre, c'est trouver toutes les solutions. Un système linéaire n'a que trois possibilités : aucune solution, une seule, ou une infinité. Avec deux inconnues, tu peux le voir sur un dessin. Avec trois inconnues, chaque équation devient un plan de l'espace, et au-delà on ne dessine plus. Il faut donc une méthode de calcul qui marche à toutes les tailles. C'est la méthode du pivot de Gauss, que tu vas apprendre dans la prochaine leçon.