Le produit, enchaînement de transformations

Quand tu fais pivoter une photo sur ton téléphone ou que tu l'agrandis avec deux doigts, l'appareil multiplie les coordonnées d'un très grand nombre de points par une petite matrice. Dans cette leçon, tu vas voir comment une matrice deux par deux transforme le plan, comment lire cette transformation directement dans ses colonnes, et pourquoi le produit de deux matrices correspond à l'enchaînement de deux transformations. Ce point de vue géométrique explique d'un coup la règle ligne par colonne et le fait que l'ordre des facteurs compte. C'est l'idée la plus importante de ce module.

Écris un point du plan comme une colonne x, y, et multiplie-le par une matrice deux par deux : tu obtiens un nouveau point. Chaque matrice définit ainsi une transformation du plan. Avec deux, zéro, zéro, deux, chaque point est envoyé deux fois plus loin de l'origine : c'est un agrandissement de rapport deux. Avec un, zéro, zéro, moins un, le point x, y devient x, moins y : c'est la symétrie par rapport à l'axe horizontal. Avec zéro, moins un, un, zéro, le point x, y devient moins y, x : c'est la rotation d'un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Voici une astuce très utile. Multiplie une matrice par le point un, zéro : tu obtiens sa première colonne. Par le point zéro, un : tu obtiens sa deuxième colonne. Les colonnes d'une matrice sont donc les images des deux vecteurs de base. Pour trouver la matrice d'une rotation d'angle thêta, il suffit de faire tourner ces deux vecteurs. Le vecteur un, zéro devient cosinus thêta, sinus thêta. Le vecteur zéro, un devient moins sinus thêta, cosinus thêta. Tu obtiens la matrice de rotation affichée, sans calcul compliqué. Cette idée te servira dans tout le reste du parcours.

Applique d'abord la transformation B à un point X : tu obtiens B X. Applique ensuite A à ce résultat : tu obtiens A fois B X. Grâce à l'associativité, c'est aussi A B fois X. Le produit A B est donc la matrice de la transformation qui fait B d'abord, puis A. C'est pour que cette propriété soit vraie qu'on a défini le produit ligne par colonne. Attention au sens de lecture : dans A B, c'est la matrice de droite qui agit la première, comme dans l'écriture f de g de x en analyse. Prends l'habitude de lire un produit de transformations de droite à gauche.

Prends R, la rotation d'un quart de tour, et S, la symétrie par rapport à l'axe horizontal. Le produit R S, c'est-à-dire la symétrie d'abord, puis la rotation, donne la matrice zéro, un, un, zéro : c'est la symétrie par rapport à la droite y égale x. Le produit S R, c'est-à-dire la rotation d'abord, puis la symétrie, donne zéro, moins un, moins un, zéro : c'est la symétrie par rapport à la droite y égale moins x. Fais-le avec un objet réel, par exemple un livre posé sur une table : tourne puis retourne, ou retourne puis tourne. Tu n'arrives pas à la même position.

Les logiciels de dessin et les applications photo enchaînent sans cesse ce type de transformations. Un agrandissement uniforme de rapport un virgule cinq a pour matrice un virgule cinq fois l'identité. Il donne le même résultat avant ou après une rotation, car un multiple de l'identité commute avec toutes les matrices. Un étirement en largeur seulement, de matrice deux, zéro, zéro, un, ne se comporte pas ainsi. Étirer un logo puis le tourner d'un quart de tour donne un logo haut et étroit. Le tourner puis l'étirer donne un logo large et plat. Un graphiste de Port-au-Prince qui inverse l'ordre livre une image déformée.

Une question vient souvent : comment déplacer une image, sans la tourner ni l'agrandir ? Ce mouvement, appelé translation, ne peut pas s'écrire avec une matrice deux par deux, car toute matrice envoie l'origine sur elle-même, alors qu'une translation la déplace. Les logiciels de dessin et les jeux vidéo contournent cette limite avec une astuce : ils ajoutent une troisième coordonnée, égale à un, et travaillent avec des matrices trois par trois. Tu comprendras mieux cette différence au module 4, quand tu verras ce qu'est exactement une application linéaire, et pourquoi une translation n'en est pas une.

Retiens qu'une matrice deux par deux est une transformation du plan, et que ses colonnes sont les images des deux vecteurs de base. Le produit A B correspond à l'enchaînement des transformations, B d'abord, A ensuite, et c'est pour cela que l'ordre des facteurs compte. Les agrandissements uniformes font exception, car ils commutent avec tout. Dans le lab de ce module, tu appliqueras ces transformations à une figure et tu vérifieras l'effet de l'ordre. Dans la prochaine leçon, une question naturelle se pose : peut-on annuler une transformation ? C'est la notion de matrice inverse.