Boîte à moustaches et courbes

La boîte à moustaches est un graphique très compact. En un seul dessin, elle montre le centre d'une distribution, sa dispersion et ses valeurs extrêmes. Elle est surtout précieuse pour comparer plusieurs groupes côte à côte : les prix dans plusieurs marchés, les salaires de plusieurs services, les notes de plusieurs classes. Tu vas la construire sur les prix du riz relevés dans 15 boutiques de Bamako. Ce sont des données d'exercice. Tu utiliseras deux notions, la médiane et les quartiles, que tu approfondiras au module 3. Puis tu verras deux courbes utiles.

La boîte s'appuie sur cinq repères. La médiane partage les valeurs rangées en deux moitiés. Le premier quartile, noté Q1, laisse un quart des valeurs en dessous de lui. Le troisième quartile, Q3, en laisse trois quarts en dessous. Le minimum et le maximum complètent le tableau. On dessine une boîte qui va de Q1 à Q3, coupée par un trait à la médiane. Cette boîte contient donc la moitié centrale des valeurs. Puis on trace deux traits de part et d'autre, les moustaches, qui vont vers les valeurs les plus basses et les plus hautes.

Voici les 15 prix rangés du plus petit au plus grand : 400, 425, 425, 450, 450, 450, 475, 475, 500, 500, 525, 550, 550, 600 et 800 francs CFA le kilo. La médiane est la huitième valeur, 475, puisqu'il y a sept valeurs de chaque côté. Pour les quartiles, on prend ici la médiane de chaque moitié : 450 pour les sept plus petites valeurs, 550 pour les sept plus grandes. Il existe d'autres méthodes de calcul des quartiles, qui donnent parfois des résultats un peu différents : tu les verras au module 3. Remarque déjà la boutique à 800 francs, loin des autres.

L'écart interquartile est la largeur de la boîte : 550 moins 450, soit 100. La convention la plus répandue, proposée par le statisticien John Tukey, fixe deux limites à une fois et demie cet écart de part et d'autre de la boîte. En haut : 550 plus 150, soit 700. En bas : 450 moins 150, soit 300. Les moustaches s'arrêtent à la dernière valeur à l'intérieur de ces limites : 400 en bas, 600 en haut. La boutique à 800 est dessinée par un point isolé. Atypique ne veut pas dire faux : c'est peut-être du riz importé de qualité supérieure. Tu vérifies, tu ne supprimes pas.

La boîte à moustaches montre toute sa force quand on en place plusieurs côte à côte, sur la même échelle. Imagine les prix du riz à Bamako, à Dakar et à Conakry, chacun avec sa boîte, après conversion dans une même unité. Tu compares d'abord les médianes : où le prix typique est-il le plus élevé ? Puis la largeur des boîtes : où les prix sont-ils les plus dispersés d'une boutique à l'autre ? Enfin les points isolés : quel marché a des prix inhabituels ? En trois coups d'œil, tu as une comparaison que dix lignes de tableau auraient du mal à rendre.

Pour suivre une grandeur dans le temps, comme le prix mensuel d'un produit ou le nombre d'inscrits chaque année, on trace une courbe. Le temps est sur l'axe horizontal, avec des intervalles réguliers. Si tu as des données pour 2020, 2021 et 2025, ne les place pas à égale distance : laisse la place des années manquantes. Contrairement aux barres, une courbe se lit par sa pente, pas par sa hauteur. Son axe vertical peut donc commencer ailleurs qu'à zéro pour rendre visibles des variations modestes. Mais il faut le signaler clairement, et le texte doit donner l'ampleur réelle des variations.

Il existe une autre courbe très utile : le polygone des fréquences cumulées. Pour chaque classe, tu places un point à sa borne haute, avec en hauteur la fréquence cumulée. Pour les loyers de Casablanca du module 1, le point de cinq mille dirhams est à environ 71 pour cent. Tu relies les points par des segments, en partant de zéro à la borne basse de la première classe. La courbe monte jusqu'à cent pour cent. Elle te permet de lire graphiquement la médiane, là où la courbe atteint cinquante pour cent, et les quartiles à vingt-cinq et soixante-quinze pour cent.

La boîte à moustaches résume une distribution en cinq repères, et elle permet de comparer plusieurs groupes d'un coup d'œil. Sa boîte va du premier au troisième quartile, la médiane la coupe, et les valeurs à plus d'une fois et demie l'écart interquartile sont signalées comme atypiques, à vérifier mais pas à effacer. La courbe d'évolution suit une grandeur dans le temps, avec des périodes régulières. Le polygone des fréquences cumulées permet de lire la médiane et les quartiles. Dans la dernière leçon de ce module, tu vas apprendre à démasquer les graphiques qui trompent.