Choisir sa méthode de preuve

Tu connais maintenant la langue. Il te faut des méthodes. Il en existe beaucoup, mais six suffisent pour la grande majorité des exercices de première année : la preuve directe, la contraposée, le raisonnement par l'absurde, la disjonction de cas, le contre-exemple et l'analyse-synthèse. Dans cette leçon, tu vas voir chacune sur un exemple court, rédigé comme on l'attend dans une copie. Tu verras aussi comment choisir la bonne méthode avant de commencer. La plupart des blocages viennent d'un mauvais choix de départ, pas d'un calcul difficile.

La preuve directe part de l'hypothèse et avance pas à pas jusqu'à la conclusion. Beaucoup de preuves simples reposent sur un réflexe : revenir aux définitions. Un entier est pair s'il existe un entier k tel qu'il s'écrit 2 fois k. Pour montrer que la somme de deux pairs est paire, tu écris donc chacun sous cette forme, avec deux lettres différentes, a et b. Tu factorises la somme par 2, et tu constates que a plus b est un entier. Tu retrouves la définition d'un nombre pair.

À la gare routière de Bamako, un transporteur affirme : si deux colis pèsent ensemble plus de 10 kilos, l'un des deux au moins pèse plus de 5 kilos. Essaie de le prouver de front : tu pars de x plus y supérieur à 10, et tu ne sais pas lequel des deux nombres choisir. La contraposée débloque la situation. Comme la négation d'un « ou » est un « et », elle s'écrit : si x est inférieur ou égal à 5 et y aussi, alors x plus y est inférieur ou égal à 10. Une simple addition d'inégalités suffit. Dans ta copie, annonce la méthode, écris la contraposée en entier, puis démontre-la.

Pour montrer que racine de 2 n'est pas une fraction, pars de l'hypothèse inverse : racine de 2 égale p sur q, et choisis cette fraction déjà simplifiée au maximum. Ce choix servira à la fin. En élevant au carré, p au carré égale 2 q au carré, donc p au carré est pair. Or p ne peut pas être impair : un impair fois un impair donne un impair, comme tu le démontreras au lab. Donc p est pair, p égale 2r, et après simplification, q au carré égale 2 r au carré. Le même argument rend q pair. Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont pairs se simplifie encore par 2, ce qui contredit le choix de départ. L'hypothèse est donc fausse.

Imagine une route droite avec deux marchés, l'un à la borne moins 2, l'autre à la borne 2, à 4 kilomètres l'un de l'autre. Où que tu habites sur cette route, la somme de tes distances aux deux marchés vaut au moins 4. Pour le démontrer, les valeurs absolues t'obligent à découper : leur expression change selon la position de x par rapport à moins 2 et à 2. Tu obtiens trois cas, et dans chacun un calcul d'une ligne. Avant de conclure, vérifie que tes cas ne laissent aucun réel de côté, y compris les bornes elles-mêmes : ici, x égal à 2 est dans le premier cas, x égal à moins 2 dans le deuxième.

Idrissa, élève de terminale à Niamey, a remarqué qu'à côté de chaque multiple de 6 on trouve un nombre premier : 5 ou 7 autour de 6, 11 ou 13 autour de 12, 23 à côté de 24. Il conjecture que, pour tout entier n au moins égal à 1, 6n moins 1 ou 6n plus 1 est premier. Il teste jusqu'à n égal à 19, et tout marche. Pour n égal à 20, pourtant, 119 vaut 7 fois 17 et 121 vaut 11 fois 11 : aucun des deux n'est premier. La conjecture est fausse. Remarque ce que demande le ou : pour contredire la phrase, il faut que les deux nombres échouent en même temps. Dans une copie, donne la valeur de n et les deux factorisations.

Quand on te demande tous les objets qui vérifient une condition, travaille en deux temps. L'analyse fait le tri : tu supposes qu'un objet convient et tu en tires ce qu'il est obligé d'être. Ici, si f de x égale a x plus b convient, alors f de f de x vaut a au carré fois x, plus a b plus b. En identifiant avec 4x plus 3, a au carré vaut 4 et b fois a plus 1 vaut 3. Avec a égal à 2, b vaut 1 ; avec a égal à moins 2, b vaut moins 3. Il n'y a pas d'autre possibilité. La synthèse contrôle ces candidates : 2 fois 2x plus 1, plus 1, redonne 4x plus 3, et le calcul marche aussi pour la seconde. Conclusion : exactement deux fonctions conviennent.

Avant d'écrire, prends trente secondes pour choisir. Commence toujours par la preuve directe, en revenant aux définitions. Si la conclusion est difficile à atteindre, mais que sa négation se manipule bien, pense à la contraposée. Si l'énoncé est négatif, comme « il n'existe pas de fraction égale à racine de 2 », le raisonnement par l'absurde te donne une hypothèse concrète avec laquelle travailler. Si tes objets se partagent en familles, découpe en cas. Et si tu doutes que la phrase soit vraie, teste quelques valeurs : tu tomberas peut-être sur un contre-exemple. Enfin, si on te demande de trouver tous les objets qui vérifient une propriété, ou de montrer qu'un seul convient, pense à l'analyse-synthèse.

Tu as six outils. La preuve directe repose presque toujours sur les définitions. La contraposée et l'absurde exigent d'annoncer clairement la méthode et l'hypothèse de départ, sinon le correcteur ne peut pas suivre. La disjonction de cas n'est valable que si les cas couvrent toutes les possibilités. Le contre-exemple doit être une valeur précise, avec le calcul qui montre l'échec. L'analyse-synthèse se rédige en deux parties annoncées : l'analyse réduit les possibilités, la synthèse vérifie celles qui restent. Dans la prochaine leçon, tu vas apprendre à rédiger proprement, à éviter les erreurs les plus fréquentes, et à te relire avec la grille de relecture qui te suivra dans tout le parcours.