Injection, surjection, bijection

Dans la leçon précédente, tu as vu qu'un élément d'arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Cette leçon classe les applications selon ce nombre. Une injection ne donne jamais deux fois la même image. Une surjection atteint tous les éléments d'arrivée. Une bijection fait les deux, et on peut alors revenir en arrière. Ces notions reviennent sans cesse en première année, en algèbre comme en analyse. Tu vas surtout apprendre à rédiger les preuves correspondantes, qui suivent toujours le même schéma, et à trouver un contre-exemple quand la propriété est fausse.

Pense aux places dans un avion entre Casablanca et Dakar : on associe à chaque passager son numéro de siège. Si deux passagers différents n'ont jamais le même siège, l'application est injective. En mathématiques, on utilise la forme contraposée, plus facile à manier : si deux éléments ont la même image, alors ils sont égaux. Pour f de x égale 3x moins 5, tu supposes 3x moins 5 égale 3x prime moins 5, tu ajoutes 5, tu divises par 3, et tu obtiens x égale x prime. Pour la fonction carré sur les réels, 3 et moins 3 ont la même image : elle n'est pas injective.

Une application est surjective quand elle atteint tous les éléments de l'ensemble d'arrivée. La preuve commence toujours par « soit y un élément de F », puis tu cherches un x qui convient. Souvent, tu résous l'équation f de x égale y au brouillon, puis tu proposes la solution dans la copie et tu vérifies qu'elle marche. Pour 3x moins 5, tu trouves x égale y plus 5, divisé par 3. Ce nombre est bien un réel, et son image vaut y. Pour la fonction carré de ℝ dans ℝ, moins 4 n'a pas d'antécédent : elle n'est pas surjective.

Quand une application est à la fois injective et surjective, chaque élément d'arrivée a un antécédent, et un seul. On peut alors définir l'application réciproque, qui associe à chaque y cet antécédent. Pour 3x moins 5, tu l'as déjà trouvée en prouvant la surjectivité : y plus 5, divisé par 3. Vérifie-le : si tu appliques f puis sa réciproque, tu reviens au point de départ, et dans l'autre ordre aussi. Retiens que la réciproque d'une application n'est pas l'inverse de ses valeurs : ce n'est pas 1 sur 3x moins 5.

Une formule ne suffit pas à définir une application : il faut aussi ses ensembles de départ et d'arrivée, et ils changent les réponses. L'exponentielle ne prend jamais deux fois la même valeur, mais elle ne prend que des valeurs strictement positives : de ℝ dans ℝ, elle est injective sans être surjective ; si l'on réduit l'arrivée aux réels strictement positifs, elle devient bijective, et sa réciproque est le logarithme népérien. La valeur absolue fait l'inverse : elle atteint tous les réels positifs, mais 3 et moins 3 ont la même image. Dernier cas, très concret : un programme informatique numérote ses éléments à partir de 0, l'organisateur d'une course à Bujumbura numérote ses dossards à partir de 1. La règle n plus 1 fait passer de l'un à l'autre sans manque ni doublon : c'est une bijection de ℕ dans ℕ étoile, mais pas une surjection de ℕ dans ℕ.

Voici une preuve courte, typique des examens. On suppose que g rond f est injective, et on veut montrer que f l'est. Soit x et x prime tels que f de x égale f de x prime. Tu appliques g aux deux membres : g de f de x égale g de f de x prime, c'est-à-dire que g rond f prend la même valeur en x et en x prime. Comme g rond f est injective, x égale x prime. Remarque que tu n'as utilisé aucune propriété de g. En revanche, g n'est pas forcément injective : cherche un exemple pour t'en convaincre.

Commence par une salle d'examen à Port-au-Prince : quarante candidats, quarante places, et la consigne de ne jamais mettre deux candidats sur la même place. Une fois tout le monde assis, aucune place ne reste vide : s'il en restait une, les quarante candidats occuperaient au plus trente-neuf places, et deux partageraient forcément la même. Ce raisonnement se généralise. Une injection ne peut pas partir d'un ensemble plus gros que son arrivée, et une surjection ne peut pas partir d'un ensemble plus petit. Quand les deux ensembles finis ont la même taille, vérifier l'une des deux propriétés suffit à obtenir la bijection. C'est souvent la façon la plus rapide de prouver qu'une application entre ensembles finis est bijective.

Pour l'injectivité, tu supposes deux images égales et tu montres que les éléments sont égaux. Pour la surjectivité, tu pars d'un élément d'arrivée quelconque et tu lui construis un antécédent. Pour réfuter l'une ou l'autre, un seul contre-exemple suffit. Quand les deux sont vraies, la réciproque existe, et elle se trouve souvent en résolvant f de x égale y. Pense toujours aux ensembles de départ et d'arrivée, qui changent tout. Dans la dernière leçon du module, tu vas étudier les relations, qui permettent de regrouper ou de classer des éléments.