Rédiger et relire une démonstration

Une démonstration n'est pas un brouillon de calcul. C'est un texte écrit pour un lecteur, souvent un correcteur pressé, qui doit pouvoir vérifier chaque étape sans deviner ce que tu as voulu dire. Dans cette leçon, tu vas apprendre la structure d'une preuve, le rôle exact des petits mots comme donc, or et car, et les erreurs qui font perdre le plus de points. Tu vas surtout recevoir la grille de relecture en six questions. Tu t'en serviras dans chaque lab de ce parcours, pour corriger ta première version et la réécrire.

Presque toutes les preuves suivent le même squelette. D'abord, tu introduis les objets : « soit n un entier ». Le mot soit dit au lecteur que n est quelconque, et que ta preuve vaudra pour tous les entiers. Ensuite, tu poses l'hypothèse : « supposons que n soit pair ». Puis tu annonces le but : « montrons que n au carré est pair ». Tu enchaînes les étapes, et tu termines par une phrase qui reprend exactement le but. Ce squelette paraît scolaire, mais il évite la moitié des erreurs, parce qu'il t'oblige à savoir à chaque instant ce que tu sais et ce que tu cherches.

Les mots de liaison indiquent au lecteur dans quel sens circule la logique. Donc et ainsi vont vers l'avant : la phrase qui suit est une conséquence. Car et puisque vont vers l'arrière : la phrase qui suit est la raison. Or pose sur la table un fait connu, qui va être utilisé juste après. Un exemple complet : « un nombre qui se termine par 0 est divisible par 5 ; or 1 960 se termine par 0 ; donc 1 960 est divisible par 5 ». Réciproquement annonce qu'on passe à l'autre sens d'une équivalence. Deux défauts opposés coûtent des points : des lignes posées les unes sous les autres sans aucun mot, et des donc placés partout, même là où rien ne découle de rien.

Voici une erreur très répandue. Pour montrer que 2x est inférieur ou égal à x au carré plus 1, un étudiant écrit l'inégalité voulue, la transforme, et arrive à « x moins 1, le tout au carré, est positif », qui est vrai. Il conclut que c'est gagné. Mais partir de ce qu'on veut prouver, c'est le supposer vrai. On peut aboutir à une phrase vraie en partant d'une phrase fausse. La bonne rédaction part du fait sûr, le carré est positif, puis développe jusqu'au but. Si tu préfères garder ton chemin, tu dois justifier que chaque étape est une équivalence.

Première erreur : diviser par une quantité qui peut être nulle. De x au carré égale x, on ne tire pas x égale 1, on perd la solution 0. Il faut écrire x fois la quantité x moins 1 égale 0. Deuxième erreur : croire qu'une propriété vérifiée sur trois exemples est démontrée, tu l'as vu avec 6n moins 1 et 6n plus 1, qui résistent jusqu'à n égal à 19. Troisième erreur, plus discrète : écrire m égale 2k et n égale 2k avec la même lettre k. Tu viens de supposer que m et n sont égaux. Enfin, ne mets pas un signe égal entre une phrase et un nombre, ou entre un ensemble et un de ses éléments.

Voici l'outil qui te suivra dans tout le parcours. Quand ta preuve est écrite, laisse-la de côté quelques minutes, puis relis-la en te posant ces six questions, une par une. Réponds par oui ou par non, et note la ligne concernée quand c'est non. La question 5 vise les cas qu'on oublie souvent : n égal à 0, l'ensemble vide, un dénominateur nul, un nombre négatif. La question 6 vérifie que ta dernière phrase dit exactement ce que demandait l'énoncé, pas une phrase voisine. Ensuite, tu réécris la preuve en corrigeant chaque non.

Regarde ce que la grille change sur une copie réelle. Kadiatou, étudiante à Conakry, avait écrit en une ligne : « n pair donc n au carré pair, c'est évident ». La grille répond non à la question 1, car n n'est pas introduit, et non à la question 3, car rien ne justifie le donc. Le mot évident ne remplace jamais une justification. Dans sa version 2, elle introduit n, revient à la définition de pair, fait le calcul et conclut avec la définition. C'est à peine plus long, mais un correcteur peut vérifier chaque mot.

Une bonne preuve suit un squelette simple : introduire, supposer, annoncer, enchaîner, conclure. Chaque donc s'appuie sur une définition, un résultat du cours ou un calcul. On ne part jamais de ce qu'on veut démontrer, sauf à justifier que chaque étape est une équivalence. Et on se relit avec la grille en six questions, avant de réécrire. Dans le lab de ce module, tu vas écrire quatre preuves courtes, les corriger avec la grille et les réécrire. Ensuite, la simulation te mettra face à la copie d'un camarade, la veille d'un devoir surveillé.