Ensembles et opérations

Les ensembles sont le vocabulaire de base de toutes les mathématiques. Tu en as déjà rencontré : les entiers naturels, les réels, les intervalles, l'ensemble des solutions d'une équation. Dans cette leçon, tu vas apprendre à les décrire avec précision, à les combiner, et surtout à démontrer qu'un ensemble est inclus dans un autre ou qu'il lui est égal. Tu vas voir que ces preuves utilisent directement la logique du module 1 : l'union correspond au mot ou, l'intersection au mot et, et le complémentaire à la négation.

Il y a deux façons d'écrire un ensemble. En extension, tu donnes la liste de ses éléments, comme les diviseurs de 6 : un, deux, trois et six. En compréhension, tu donnes la propriété qui les caractérise : les entiers naturels qui divisent 6. Ne confonds pas les deux symboles. Le nombre 2 appartient à A, alors que l'ensemble qui contient seulement 2 est inclus dans A. Enfin, l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pour le contredire, il faudrait trouver un élément du vide qui ne soit pas dans l'autre ensemble, et le vide n'a aucun élément.

Prends une classe de trente étudiants à Abidjan. On note A ceux qui parlent anglais et B ceux qui jouent au football. L'union rassemble ceux qui parlent anglais ou jouent au football, avec le ou inclusif : un étudiant qui fait les deux en fait partie. L'intersection garde seulement ceux qui font les deux. A privé de B, ce sont les anglophones qui ne jouent pas au football. Et le complémentaire de A dans la classe, ce sont ceux qui ne parlent pas anglais. Les dessins en forme de patates aident à voir, mais ils ne remplacent jamais une preuve.

Pour démontrer qu'un ensemble est inclus dans un autre, il n'y a qu'une méthode, et elle marche toujours. Tu écris « soit x un élément de A », sans rien supposer d'autre sur x. Puis tu montres, étape par étape, que x appartient à l'autre ensemble. Comme x était quelconque, tu as prouvé la propriété pour tous les éléments de A. Dans l'exemple, chaque étape utilise une hypothèse : la première inclusion fait passer x dans B, la seconde le fait passer dans C. Remarque que tu utilises ici le pour tout du module 1, caché dans le mot soit.

Deux ensembles sont égaux quand chacun est inclus dans l'autre : il faut donc deux preuves. Reprends la classe d'Abidjan et appelle C les étudiants inscrits au club de théâtre. À gauche, tu as ceux qui parlent anglais ou jouent au football, sans faire de théâtre. Prends-en un, x. Comme il est dans A ou dans B, tu sépares les cas : s'il est dans A, il est dans A privé de C ; s'il est dans B, il est dans B privé de C. Dans les deux cas, il est à droite. Il reste le chemin du retour : un élément de A privé de C, ou de B privé de C, est dans A union B et hors de C. Sans ce retour, tu n'as prouvé qu'une inclusion.

Ces deux lois portent le nom du mathématicien britannique Augustus De Morgan. Elles traduisent une règle de logique que tu connais déjà : la négation de « P ou Q » est « non P et non Q ». Être en dehors de l'union de A et B, c'est n'être ni dans A, ni dans B, donc être à la fois hors de A et hors de B. Dans la classe d'Abidjan, les étudiants qui ne sont ni anglophones ni footballeurs sont exactement ceux qui ne parlent pas anglais et qui ne jouent pas au football. Tu peux démontrer chaque loi par double inclusion, en dix lignes.

L'ensemble des parties de E contient tous les sous-ensembles de E, y compris le vide et E lui-même. Pour un ensemble de trois éléments, a, b et c, tu en trouves huit : le vide, trois singletons, trois paires et l'ensemble entier. Tu démontreras au module 3 qu'un ensemble de n éléments a 2 puissance n parties. Le produit cartésien, lui, contient des couples. Dans un restaurant de Montréal qui propose trois entrées et quatre plats, un menu entrée plus plat est un couple, et il y en a douze. L'ordre compte : le couple (x, y) n'est pas le couple (y, x).

Retiens d'abord la différence entre appartenir, pour un élément, et être inclus, pour un ensemble. Pour prouver une inclusion, tu pars d'un élément quelconque et tu le suis jusqu'à l'autre ensemble. Pour prouver une égalité, tu fais les deux inclusions. Les lois de De Morgan sont la version ensembliste de la négation de et et de ou. Dans la prochaine leçon, tu vas passer des ensembles aux applications, qui relient les éléments d'un ensemble à ceux d'un autre. Tu verras comment calculer l'image d'un intervalle sans te tromper.