Le produit scalaire

Dans cette leçon, tu vas apprendre une première façon de multiplier deux vecteurs : le produit scalaire. Son nom dit l'essentiel, le résultat est un scalaire, c'est-à-dire un simple nombre. Cet outil revient partout. En mécanique, il donne le travail d'une force. En électricité, il donne la puissance reçue par une charge en mouvement. En topographie, il permet de vérifier qu'un angle est droit. Et dans tous les domaines, il sert à projeter un vecteur sur une direction, par exemple pour savoir quelle partie du vent pousse vraiment sur un panneau. Tu vas voir deux façons de le calculer et quand choisir l'une ou l'autre.

Il existe deux formules, et elles donnent toujours le même nombre. La première utilise l'angle entre les vecteurs : tu multiplies les deux normes et le cosinus de l'angle. Elle est pratique quand l'énoncé te donne des intensités et des angles. La seconde utilise les composantes : tu multiplies les composantes en x entre elles, puis en y, puis en z, et tu fais la somme. Exemple : avec u égale 2, moins 1, 3 et v égale 1, 4, 2, tu obtiens 2, moins 4, plus 6, donc 4. Attention à une erreur fréquente : écrire le résultat sous forme de vecteur. Un produit scalaire, c'est un seul nombre.

Le signe du produit scalaire te renseigne tout de suite sur l'angle. Si les deux vecteurs vont à peu près dans le même sens, le produit est positif. S'ils sont perpendiculaires, il est nul. S'ils vont plutôt en sens contraires, il est négatif. En combinant les deux formules, tu peux aussi trouver l'angle exact : le cosinus de l'angle est égal au produit scalaire divisé par le produit des normes. Reprends u et v de l'exemple précédent : le produit vaut 4, les normes valent environ 3,74 et 4,58. Le cosinus vaut donc environ 0,23, et l'angle environ 77 degrés.

En mécanique, le travail d'une force constante sur un déplacement en ligne droite est le produit scalaire de la force par le déplacement. Prends un manutentionnaire au port de Casablanca qui tire un chariot avec une corde. La corde tire avec 150 newtons et fait un angle de 25 degrés avec le sol. Le chariot avance de 12 mètres. Seule la partie horizontale de la force fait avancer le chariot. Le travail vaut donc 150 fois 12 fois cosinus 25 degrés, soit environ 1 630 joules. La partie verticale de la force ne travaille pas, car elle est perpendiculaire au déplacement. Newton fois mètre donne bien des joules.

Pour savoir quelle partie d'un vecteur agit dans une direction donnée, tu fais son produit scalaire avec un vecteur unitaire de cette direction, c'est-à-dire un vecteur de norme 1. Exemple : le vent souffle avec la vitesse 6, 2, 0 en mètres par seconde. Un panneau publicitaire a pour normale, c'est-à-dire pour direction perpendiculaire à sa surface, le vecteur 0,6, 0,8, 0. Vérifie d'abord que sa norme vaut 1 : 0,36 plus 0,64 donnent bien 1. La composante du vent perpendiculaire au panneau vaut 6 fois 0,6 plus 2 fois 0,8, soit 5,2 mètres par seconde. C'est elle qui pousse sur la surface.

Le produit scalaire nul est le test le plus simple pour vérifier une perpendicularité. Imagine une géologue qui implante un carré de fouille sur un affleurement près de Bamako, ou un technicien qui trace les fondations d'un hangar. À partir d'un point A, il mesure deux directions : AB vaut 4 mètres en x et 3 en y, AC vaut moins 3 en x et 4 en y. Le produit scalaire donne 4 fois moins 3 plus 3 fois 4, c'est-à-dire zéro. L'angle en A est donc droit. Sur le terrain, si tu trouves une petite valeur au lieu de zéro, compare-la au produit des longueurs pour juger si l'écart est acceptable.

Garde en tête que le produit scalaire transforme deux vecteurs en un seul nombre. En pratique, tu le calcules avec les composantes, et la formule avec les normes et l'angle te sert surtout à interpréter ce nombre ou à retrouver un angle. Il sert à calculer un travail, une puissance, la composante d'un vecteur sur une direction, et à vérifier un angle droit. Son signe te dit si l'angle est aigu ou obtus. Dans la prochaine leçon, tu vas voir l'autre produit de deux vecteurs, le produit vectoriel. Lui donne un vecteur, et il sert à calculer le moment d'une force ou la force sur un fil parcouru par un courant.