Dériver une grandeur physique

Dans cette leçon, tu vas apprendre à dériver comme un physicien, c'est-à-dire en sachant toujours ce que représente la dérivée et quelle est son unité. La vitesse est la dérivée de la position, le courant est la dérivée de la charge, la vitesse d'une réaction est liée à la dérivée d'une concentration. Tu vas revoir les règles de calcul les plus utiles, puis les appliquer à un condensateur, à un objet lancé en l'air et à un problème de puissance maximale. Tu termineras par les dérivées partielles, indispensables quand une grandeur dépend de plusieurs variables, comme la pression d'un gaz ou la température d'une plaque.

La dérivée de f par rapport à x, c'est la variation de f quand x augmente un tout petit peu, divisée par cette petite augmentation. Sur un graphique, c'est la pente de la tangente. Son unité est celle de f divisée par celle de x. La dérivée d'une position en mètres par rapport au temps en secondes est une vitesse en mètres par seconde. La dérivée d'une charge en coulombs par rapport au temps est un courant, en ampères. En chimie, la vitesse de disparition d'un réactif A est moins la dérivée de sa concentration, en moles par litre et par seconde. Écrire l'unité, c'est déjà vérifier ton raisonnement.

La dérivée de t puissance n est n fois t puissance n moins un. La dérivée de exp de a t est a fois exp de a t. Celle de ln t est 1 sur t. Celle de sinus oméga t est oméga cosinus oméga t, et celle de cosinus oméga t est moins oméga sinus oméga t. Pour un produit, tu dérives chaque facteur à tour de rôle. Pour une fonction composée, tu multiplies par la dérivée de l'intérieur. Exemple : la dérivée de exp de moins t sur tau est moins 1 sur tau fois exp de moins t sur tau. Le facteur oméga ou 1 sur tau qui apparaît donne la bonne unité.

En électronique, deux composants sont définis par une dérivée. Le courant dans un condensateur vaut sa capacité multipliée par la dérivée de la tension à ses bornes. La tension aux bornes d'une bobine vaut son inductance multipliée par la dérivée du courant. Prenons un condensateur de 10 microfarads soumis à une tension 10 sinus de 100 pi t volts, un signal à 50 hertz. La dérivée de la tension vaut 10 fois 100 pi cosinus de 100 pi t. On multiplie par la capacité : l'amplitude du courant vaut environ 0,0314 ampère, soit 31,4 milliampères. Note que le courant suit un cosinus : il est en avance d'un quart de période sur la tension.

Une dérivée nulle signale un maximum ou un minimum. C'est l'outil pour optimiser. Exemple d'électronique : un générateur de tension E, avec une résistance interne r, alimente une charge de résistance R. La puissance reçue par la charge vaut E carré fois R divisé par R plus r au carré. Si R est très petit, le courant est fort mais la charge reçoit peu de puissance. Si R est très grand, le courant devient faible. Entre les deux, il y a un maximum. En dérivant par rapport à R, tu trouves une dérivée proportionnelle à r moins R, qui s'annule pour R égale r. C'est l'adaptation d'impédance, que tu retrouveras en télécommunications.

En mécanique, la vitesse est la dérivée de la position, et l'accélération la dérivée de la vitesse. Un objet lancé verticalement à 15 mètres par seconde, sans frottement, a pour altitude v zéro t moins g t carré sur deux. En dérivant, la vitesse vaut v zéro moins g t. Au sommet de la trajectoire, la vitesse s'annule : t égale v zéro sur g, environ 1,53 seconde avec g égale 9,81 mètres par seconde carrée. En remplaçant dans la position, l'altitude maximale vaut environ 11,5 mètres. Contrôle d'unité : v zéro sur g donne des mètres par seconde divisés par des mètres par seconde carrée, donc des secondes.

Beaucoup de grandeurs dépendent de plusieurs variables. La pression d'un gaz parfait dépend de sa température et de son volume : P égale n R T sur V. La dérivée partielle de P par rapport à T se calcule en gardant V constant : elle vaut n R sur V. Elle dit de combien la pression monte par degré, dans un récipient fermé. La dérivée partielle par rapport à V, à température constante, vaut moins n R T sur V carré. Elle est négative, ce qui est logique : si le volume augmente, la pression baisse. On note ces dérivées avec un d arrondi. Elles seront la base du gradient au module 6.

Sais-tu quelle est l'unité de la dérivée d'une charge par rapport au temps, et comment on trouve le maximum d'une fonction ? Voici ce qu'il faut garder. Une dérivée est un taux de variation, et elle a toujours une unité que tu peux vérifier : des coulombs par seconde, ce sont des ampères. Les quelques règles de cette leçon suffisent pour la plupart des calculs : puissances, exponentielles, sinus, cosinus, produits et fonctions composées. En électronique, le condensateur et la bobine sont définis par des dérivées. Pour trouver un maximum, tu cherches où la dérivée s'annule. Et quand une grandeur dépend de plusieurs variables, tu dérives par rapport à l'une en gardant les autres fixes. Dans la prochaine leçon, tu vas utiliser la dérivée à l'envers : pour estimer une petite variation sans refaire tout le calcul.