Exponentielle, logarithme et échelles logarithmiques

L'exponentielle et le logarithme sont partout en sciences. La tension d'un condensateur qui se décharge, la concentration d'un réactif qui disparaît, une population de bactéries qui grandit, un isotope radioactif qui se désintègre : tous suivent une exponentielle. Et dès qu'une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur, comme un signal radio ou l'acidité d'une solution, on l'exprime avec un logarithme. Dans cette leçon, tu vas revoir les règles qui servent vraiment, apprendre à résoudre une équation qui contient une exponentielle, et lire sans hésitation des décibels ou un pH. Tu verras aussi un garde-fou très simple contre les erreurs d'unités.

La fonction exponentielle, notée exp de x ou e puissance x, a une propriété clé : elle transforme une somme en produit. Exp de a plus b égale exp de a fois exp de b. Conséquence pratique : pour une grandeur en exp de moins t sur tau, des durées égales donnent des rapports égaux. Si elle perd 20 pour cent pendant les trois premières secondes, elle perd encore 20 pour cent de ce qui reste pendant les trois suivantes, et ainsi de suite. Retiens deux valeurs repères. Exp de moins 1 vaut environ 0,37 : au bout d'une durée tau, il reste 37 pour cent. Exp de moins 5 vaut environ 0,007 : au bout de cinq tau, il reste moins de 1 pour cent. C'est pour cela qu'on dit souvent qu'un phénomène est terminé après cinq constantes de temps.

Le logarithme népérien, noté ln, défait ce que fait l'exponentielle. C'est l'outil pour sortir une inconnue d'un exposant. Exemple : une tension suit 12 fois exp de moins t sur tau, et tu veux savoir quand elle vaut 6 volts. Tu écris exp de moins t sur tau égale 0,5. Tu prends le logarithme des deux côtés : moins t sur tau égale ln de 0,5, qui vaut moins 0,693. Donc t égale tau fois ln 2, environ 0,69 tau. Retiens ln 2 et ln 10, ils reviennent sans cesse. Et souviens-toi que le logarithme n'existe que pour un nombre strictement positif.

Voici un contrôle qui attrape beaucoup d'erreurs. Ce qu'on met dans une exponentielle ou dans un logarithme doit être un nombre pur, sans unité. Dans exp de moins t sur tau, le temps t et la constante tau sont tous deux en secondes, donc leur rapport n'a pas d'unité. Si, après un calcul, tu obtiens exp de moins 3 secondes, ou le logarithme de 20 volts, tu sais tout de suite qu'il manque une grandeur de référence. En chimie, on écrit ainsi le logarithme du rapport entre une concentration et une concentration de référence. Vérifie ce point avant même de sortir ta calculatrice.

En électronique et en télécommunications, les gains et les pertes s'expriment en décibels, avec le logarithme décimal, noté log. Pour un rapport de puissances, on prend 10 fois le logarithme. Pour un rapport de tensions, 20 fois, car la puissance varie comme le carré de la tension. Un amplificateur qui multiplie la tension par 100 a donc un gain de 40 décibels. Une perte de 3 décibels divise la puissance à peu près par deux. L'intérêt est pratique : le long d'une chaîne, câble, connecteurs, amplificateur, on additionne simplement les décibels au lieu de multiplier les rapports. Ne mélange jamais le 10 et le 20, c'est l'erreur classique.

En chimie et en biologie, le pH d'une solution diluée vaut moins le logarithme décimal de la concentration en ions oxonium, exprimée en moles par litre. Comme pour les décibels, un petit écart de pH cache un grand facteur. Une eau à pH 4 contient 10 puissance moins 4 mole par litre d'ions oxonium, une eau à pH 6 en contient 10 puissance moins 6. La première en contient donc 100 fois plus. Un technicien qui contrôle une station de traitement d'eau à Dakar ou à Lomé doit avoir ce réflexe : une baisse d'une unité de pH, c'est dix fois plus d'ions oxonium, pas un petit changement.

Sans regarder, saurais-tu dire ce que vaut ln 2, et pourquoi 20 log s'applique aux tensions ? Voici ce qu'il faut garder. L'exponentielle transforme une somme en produit, le logarithme fait l'inverse, et c'est lui qui permet de trouver un temps caché dans un exposant. Garde en mémoire exp de moins 1, environ 0,37, ln 2, environ 0,693, et ln 10, environ 2,303. Le facteur 20 vient de ce que la puissance varie comme le carré de la tension. Vérifie toujours que l'argument d'une exponentielle ou d'un logarithme est sans unité. Et lis les décibels et le pH comme des puissances de dix.