Équiprobabilité et dénombrement

Quand toutes les issues ont la même chance, une probabilité se calcule en comptant : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. Le problème, c'est que les cas deviennent vite trop nombreux pour être listés à la main. Combien de codes à quatre chiffres existe-t-il ? Combien de façons de choisir cinq sacs dans un lot de cinquante ? Dans cette leçon, tu vas apprendre les outils du dénombrement : le principe multiplicatif, les permutations, les arrangements et les combinaisons. Avec eux, tu traiteras les tirages avec ou sans remise, avec ou sans ordre.

Si l'univers est fini et que toutes ses issues ont la même probabilité, chacune vaut un divisé par le nombre total d'issues. La probabilité d'un événement est alors son nombre d'issues, qu'on appelle son cardinal, divisé par le cardinal de l'univers. Avec un dé équilibré, obtenir un nombre pair a une probabilité de trois sur six, soit un demi. Mais l'équiprobabilité est une hypothèse, pas une évidence. Quand un énoncé dit qu'on tire au hasard, il suppose un tirage équitable : papiers identiques, bien mélangés, tirés sans regarder. Dans la réalité, vérifie toujours que c'est le cas.

Quand un résultat se construit en plusieurs étapes, on multiplie le nombre de possibilités de chaque étape. Un code de carte bancaire à quatre chiffres, c'est quatre choix parmi dix chiffres : dix fois dix fois dix fois dix, soit dix mille codes. Si l'on exige quatre chiffres tous différents, le premier a dix possibilités, le deuxième neuf, le troisième huit et le dernier sept : cela fait 5 040 codes. Une personne qui essaie un code au hasard a donc une chance sur dix mille de tomber juste au premier essai. C'est pour cela que les cartes se bloquent après quelques erreurs.

Ranger n objets dans un ordre, c'est une permutation. Il y en a factorielle n, c'est-à-dire n fois n moins un, et ainsi de suite jusqu'à un. Une tontine de dix membres à Conakry peut fixer son ordre de passage de plus de trois millions et demi de façons. Si tu choisis k objets parmi n en tenant compte de l'ordre, c'est un arrangement. Une association de dix membres à Abidjan élit un président, un secrétaire et un trésorier : dix choix pour le premier poste, neuf pour le deuxième, huit pour le troisième, soit 720 bureaux possibles. Ici, l'ordre compte, car les postes sont différents.

Si les trois personnes forment un simple comité, sans poste particulier, l'ordre ne compte plus. Chaque groupe de trois a été compté six fois parmi les 720 bureaux, car trois personnes peuvent se ranger de six façons. Il y a donc 720 divisé par six, soit 120 comités. C'est le nombre de combinaisons de trois parmi dix. Sa formule générale est factorielle n divisée par factorielle k et par factorielle n moins k. Inutile de tout calculer à la main : en Python, la fonction comb du module math le fait pour toi, et dans un tableur, la fonction COMBIN.

Prends une situation de contrôle, avec des chiffres d'exemple. À la sortie d'une usine marocaine, un lot de cinquante sacs de ciment contient quatre sacs sous le poids annoncé, mais personne ne le sait. Le contrôleur prélève cinq sacs au hasard, sans remise. Quelle est la probabilité qu'il ne détecte rien ? Les cas possibles sont les combinaisons de cinq sacs parmi cinquante, et les cas favorables celles de cinq sacs pris parmi les quarante-six bons. Le rapport donne environ 0,647 : ce contrôle laisse passer le lot près de deux fois sur trois. Le nombre de sacs légers prélevés suit une loi qui a un nom, la loi hypergéométrique.

Pour choisir la bonne formule, pose-toi deux questions. L'ordre compte-t-il ? Le tirage se fait-il avec ou sans remise ? Avec ordre et avec remise, comme pour un code, on obtient n puissance k. Avec ordre et sans remise, comme pour le bureau d'une association, ce sont les arrangements. Sans ordre et sans remise, comme pour un prélèvement de sacs ou une main de cartes, ce sont les combinaisons. Le cas sans ordre et avec remise est plus rare et ne sert pas dans ce parcours. Dernière astuce : compte les cas possibles et les cas favorables de la même façon, sinon le rapport est faux.

Tout tient dans une démarche simple. D'abord, vérifie que l'équiprobabilité est une hypothèse raisonnable. Ensuite, compte les cas possibles et les cas favorables, avec la même méthode pour les deux. Pour compter, multiplie les possibilités des étapes successives, puis demande-toi si l'ordre compte et si le tirage se fait avec ou sans remise. Les arrangements tiennent compte de l'ordre, les combinaisons non. Dans la prochaine leçon, tu vas utiliser ces outils sur un résultat contraire à l'intuition, le paradoxe des anniversaires, et tu feras ta première simulation pour le vérifier.