Indépendance et pièges de raisonnement

Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un s'est produit ne change rien aux chances de l'autre. Cette notion simplifie énormément les calculs, et c'est pour cela qu'on la suppose souvent, parfois à tort. Dans cette leçon, tu vas la définir avec précision, voir pourquoi elle n'a rien à voir avec l'incompatibilité, puis passer en revue quatre erreurs de raisonnement très répandues : la confusion des deux conditionnements, l'oubli du taux de base, l'erreur du joueur et le problème des trois portes. Tu sauras ensuite les repérer dans un débat ou un article.

Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités. Quand B a une probabilité non nulle, cela revient à dire que la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A : l'information B ne change rien. Deux lancers successifs d'un dé sont indépendants : obtenir six au premier lancer ne change pas la chance d'obtenir six au second, qui reste un sixième. Dans l'enquête d'Abidjan, l'âge et le paiement des factures par mobile ne sont pas indépendants, puisque 0,75 diffère de 0,525.

Ces deux mots sont souvent confondus, alors qu'ils disent presque le contraire. Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. Si tu sais que l'un s'est produit, tu sais avec certitude que l'autre ne s'est pas produit : l'information est totale. Ils ne sont donc pas indépendants, sauf si l'un des deux a une probabilité nulle. Avec un dé, obtenir un et obtenir six sont incompatibles. En revanche, obtenir un nombre pair et obtenir au plus deux sont indépendants : un demi fois un tiers fait un sixième, et l'intersection, obtenir deux, a bien une probabilité d'un sixième.

En pratique, on suppose souvent l'indépendance pour calculer. Un centre de données à Dakar a trois groupes électrogènes de secours, et chacun a une probabilité de 0,1 de ne pas démarrer, avec des chiffres d'exemple. Pour multiplier trois probabilités, il faut l'indépendance mutuelle : la règle du produit doit valoir pour chaque paire, et aussi pour les trois ensemble, car l'indépendance deux à deux ne suffit pas. Dans ce cas, la probabilité que les trois échouent vaut 0,1 au cube, soit un millième. Mais si les trois groupes utilisent le même carburant, une seule livraison de mauvaise qualité peut les arrêter tous, et le vrai risque est bien plus grand. Avant de multiplier, cherche toujours une cause commune.

Premier piège : échanger les deux conditionnements. Imagine qu'une étude affirme que neuf fraudeurs sur dix utilisent un téléphone récent. Cela ne veut pas dire qu'une personne avec un téléphone récent a neuf chances sur dix d'être un fraudeur. La population de référence a changé, et la plupart des utilisateurs de téléphones récents sont honnêtes. Cette confusion porte un nom quand elle se produit dans un procès : le sophisme du procureur. On présente la faible probabilité d'un indice chez un innocent comme si c'était la probabilité que l'accusé soit innocent. Pour l'éviter, demande-toi toujours : parmi qui ?

Deuxième piège, l'oubli du taux de base : tu l'as vu avec la fraude. Troisième piège, l'erreur du joueur. Une pièce équilibrée vient de tomber cinq fois sur pile. Beaucoup de gens pensent que face est maintenant plus probable, pour rééquilibrer. C'est faux : les lancers sont indépendants, la pièce n'a pas de mémoire, et la probabilité de face reste un demi. La loi des grands nombres ne corrige pas le passé, elle le dilue dans un très grand nombre d'essais futurs. Cette erreur coûte cher aux joueurs de loterie et de paris sportifs, qui misent plus après une série de pertes en croyant leur tour arrivé.

Dernier piège, et sans doute le plus déroutant. Imagine un jeu télévisé tourné à Abidjan : une moto neuve se cache derrière l'une de trois portes, et un seau en plastique derrière chacune des deux autres. Tu désignes une porte. L'animateur sait où est la moto ; il ouvre, parmi les deux portes restantes, une porte à seau, puis il t'offre de changer. Passe les cas en revue. Si ta porte cachait la moto, une fois sur trois, changer te fait perdre. Si elle cachait un seau, deux fois sur trois, l'animateur est obligé d'ouvrir l'autre seau, et la dernière porte cache forcément la moto. Changer gagne donc deux fois sur trois. Tout repose sur ce que sait l'animateur : s'il ouvrait une porte au hasard et tombait par chance sur un seau, changer ou garder reviendrait au même. Tu le vérifieras au module 7.

Retiens la définition de l'indépendance et son sens : l'un des événements n'apporte aucune information sur l'autre. Ne la confonds pas avec l'incompatibilité. Avant de multiplier des probabilités, cherche une cause commune qui lierait les événements. Et garde en tête les quatre pièges : échanger les deux conditionnements, oublier le taux de base, croire que le hasard compense, et négliger ce que sait la personne qui te donne une information. Dans le lab de ce module, tu vas construire un tableau de fréquences naturelles pour un détecteur d'alertes et voir comment le taux de base change tout.