Le paradoxe des anniversaires et ta première simulation

Monte dans un car de quarante voyageurs entre Bamako et Ségou et demande à chacun sa date de naissance. Il y a près de neuf chances sur dix que deux passagers fêtent leur anniversaire le même jour. La plupart des gens parient sur beaucoup moins. Ce résultat porte le nom de paradoxe des anniversaires. Dans cette leçon, tu le calcules avec le contraire et le principe multiplicatif, tu découvres quelle question ton intuition se pose à la place de la bonne, puis tu le confirmes avec ta première simulation, au tableur ou en Python.

Avant de calculer, écris le modèle. Première hypothèse : une année de trois cent soixante-cinq jours, le vingt-neuf février mis de côté. Deuxième hypothèse : tous les jours ont la même probabilité. Troisième hypothèse : les dates des personnes ne dépendent pas les unes des autres, ce qui exclut des jumeaux dans le groupe. La deuxième est la plus fragile. Pense à un registre où de nombreuses dates inconnues auraient été inscrites au premier janvier : ce jour devient très chargé, et les coïncidences se multiplient. On démontre d'ailleurs que la répartition parfaitement égale est celle qui rend une date commune la moins probable. Si les deux autres hypothèses tiennent, le calcul donne donc une valeur plancher : avec de vraies naissances, la chance d'une date commune est au moins aussi grande.

L'événement au moins deux personnes nées le même jour est compliqué : une paire, deux paires, un trio, et ainsi de suite. Son contraire est bien plus simple : toutes les dates sont différentes. Range les personnes une par une. La première peut être née n'importe quel jour. La deuxième doit éviter la date de la première : 364 chances sur 365. La troisième doit éviter deux dates : 363 sur 365. Et ainsi de suite. Avec le principe multiplicatif, on multiplie ces fractions. La probabilité cherchée vaut un moins ce produit. C'est encore le réflexe du contraire face à un au moins un.

Voici ce que donne le calcul pour quelques tailles de groupe. Dans une équipe de quinze collègues, la probabilité d'une date commune est déjà d'environ une chance sur quatre. Le seuil d'une chance sur deux est franchi à vingt-trois personnes, avec 0,507. Dans le car de quarante voyageurs, elle atteint 0,89. Et dans un amphithéâtre de soixante étudiants, à Dakar, à Montréal ou à Conakry, elle dépasse 0,99 : il serait étonnant de n'y trouver aucune paire. Fais le test dans ta classe ou dans ton groupe de travail : note les dates de naissance et cherche deux personnes nées le même jour.

Pourquoi ton estimation était-elle si basse ? Parce que ton esprit compare vingt-trois personnes à trois cent soixante-cinq jours, et trouve le groupe minuscule. Or une coïncidence concerne deux personnes, pas une. Imagine une réunion à Lomé où chacun serre la main de tous les autres : vingt-trois personnes échangent deux cent cinquante-trois poignées de main, le nombre de combinaisons de deux parmi vingt-trois. Chaque poignée de main est une petite loterie, gagnée une fois sur trois cent soixante-cinq. Avec deux cent cinquante-trois loteries, on attend en moyenne environ 0,7 coïncidence, et en trouver au moins une n'a plus rien de surprenant. Tu verras cette notion de moyenne, l'espérance, au module 3.

Tu peux vérifier ce résultat sans aucune formule de probabilité. Dans un tableur, chaque ligne représente un groupe de vingt-trois personnes. Dans vingt-trois colonnes, la fonction ALEA.ENTRE.BORNES tire un jour entre un et trois cent soixante-cinq. Une colonne de plus compte les dates distinctes et renvoie un s'il y en a moins de vingt-trois, c'est-à-dire s'il existe un doublon. Recopie la ligne sur dix mille lignes, puis calcule la moyenne de cette dernière colonne. Tu obtiendras une fréquence proche de 0,507. Appuie sur F9 pour relancer : elle bouge un peu, mais reste proche.

En Python, la simulation tient en quelques lignes. La fonction randint du module random tire un jour entre un et trois cent soixante-cinq, et on en tire vingt-trois pour former un groupe. On transforme ensuite la liste en ensemble avec set, ce qui supprime les répétitions : si l'ensemble contient moins de vingt-trois dates, deux personnes partagent un anniversaire. On répète l'opération dix mille fois dans une boucle et on compte les groupes avec doublon. La fréquence obtenue tourne autour de 0,507, à environ un point près. Tu apprendras au module 7 à calculer cette marge.

Voici les quelques fonctions qui te serviront dans les labs des premiers modules. En Python, la fonction random du module random donne un nombre au hasard entre zéro inclus et un exclu. Comparer ce nombre à p donne un événement de probabilité p : c'est ainsi qu'on simule une fraude, une panne ou un succès. Randint tire un entier entre deux bornes, toutes deux incluses. Sample tire k éléments distincts, sans remise, comme des sacs prélevés dans un lot. Seed fixe la graine, pour retrouver les mêmes tirages à chaque exécution. Au tableur, ALEA et ALEA.ENTRE.BORNES jouent le même rôle, et la formule SI, avec ALEA inférieur à p, renvoie un en cas de succès. Le module 7 explique comment fonctionnent ces outils et comment mesurer la précision d'une simulation.

Retiens la méthode complète de ce module, que tu vas réutiliser partout. D'abord, écrire les hypothèses du modèle. Ensuite, calculer, ici avec le contraire et le principe multiplicatif. Puis interpréter, en cherchant pourquoi l'intuition se trompait. Enfin, vérifier par une simulation, qui doit donner une fréquence proche du calcul. Si les deux ne concordent pas, l'erreur est soit dans le calcul, soit dans le programme, et il faut la trouver. Dans le lab de ce module, tu appliqueras cette méthode au contrôle d'un lot de sacs de ciment.