La formule de Bayes

Dans la leçon précédente, tu partais de la cause pour calculer la conséquence. Dans la vie réelle, c'est souvent l'inverse : tu observes la conséquence et tu cherches la cause. Un sac défectueux arrive chez un client : de quelle ligne vient-il ? Un logiciel signale un paiement suspect : est-ce vraiment une fraude ? La formule de Bayes répond à ces questions. Dans cette leçon, tu vas l'établir, l'appliquer à l'usine, puis à la fraude à la carte bancaire, où son résultat va contre l'intuition.

La formule de Bayes découle directement de la définition. La probabilité de la cause L sachant la conséquence D vaut la probabilité de l'intersection divisée par celle de D. L'intersection se calcule avec les probabilités composées : probabilité de la cause fois probabilité de la conséquence sachant la cause. Et la probabilité de D se calcule avec la formule des probabilités totales. Dans un arbre, c'est très visuel : au numérateur, un seul chemin qui mène à D ; au dénominateur, la somme de tous les chemins qui mènent à D. Rien de plus.

Revenons à l'usine de Casablanca. Un client renvoie un sac défectueux. La probabilité qu'il vienne de la ligne trois vaut le chemin de la ligne trois, 0,010, divisé par la probabilité totale d'un défaut, 0,021. Cela donne environ 0,476. Pour la ligne deux, on trouve environ 0,286, et pour la ligne un, environ 0,238. Les trois résultats font bien un. Le message pour la direction est clair : la ligne trois ne produit qu'un cinquième des sacs, mais elle est à l'origine de près de la moitié des défauts. C'est elle qu'il faut réviser en priorité.

Passons à un cas où l'intuition se trompe. Selon le rapport publié en 2024 par la Banque centrale européenne et l'Autorité bancaire européenne, au premier semestre 2023, environ 0,015 % des paiements faits avec des cartes émises dans l'espace économique européen étaient frauduleux. C'est environ quinze paiements sur cent mille. Imagine maintenant un logiciel de détection, avec des performances d'exemple : il repère 99 % des fraudes, et il alerte à tort sur 1 % des paiements honnêtes. Un paiement vient de déclencher une alerte. Avant de calculer, fais une estimation : quelle est la probabilité que ce soit une fraude ?

Faisons le calcul avec les fréquences naturelles. Sur un million de paiements, environ cent cinquante sont des fraudes. Le logiciel en repère 99 %, soit environ cent quarante-neuf alertes justes. Les autres paiements, près d'un million, sont honnêtes, et le logiciel alerte à tort sur 1 % d'entre eux : environ dix mille fausses alertes. Au total, à peu près dix mille cent quarante-huit alertes, dont seulement cent quarante-neuf justes. La probabilité qu'une alerte corresponde à une fraude est donc d'environ 1,5 %. La formule de Bayes donne exactement le même nombre.

Pourquoi un détecteur fiable à 99 % donne-t-il si peu d'alertes justes ? Parce que la fraude est rare. La proportion de départ, qu'on appelle le taux de base, est minuscule, et un pour cent d'un très grand nombre de paiements honnêtes dépasse largement 99 % d'un tout petit nombre de fraudes. Ce n'est pas un défaut de calcul, c'est la réalité des événements rares. C'est pour cela qu'une alerte doit déclencher une seconde vérification, par exemple un message au titulaire de la carte, et non une accusation. Retiens que la formule de Bayes oblige à regarder le taux de base.

Retiens la formule de Bayes sous sa forme visuelle : un chemin de l'arbre divisé par la somme de tous les chemins qui mènent à la même conséquence. Elle sert à remonter de ce que tu observes vers ce qui l'a causé. Retiens surtout la leçon de la fraude : quand un événement est rare, même un très bon détecteur produit surtout de fausses alertes. Pour éviter de te tromper, refais toujours le calcul avec dix mille ou un million de cas imaginaires. Dans la prochaine leçon, tu verras l'indépendance et d'autres pièges de raisonnement liés au conditionnement.