Retrouver un taux, une durée ou un capital

Jusqu'ici, tu connaissais le capital, le taux et la durée, et tu cherchais l'intérêt. Dans la vie réelle, l'inconnue change souvent. Un ami te dit combien il te rendra, mais pas à quel taux. Une banque te donne un taux, et tu veux savoir combien de temps il faut pour gagner une somme précise. Un client te propose de payer plus tard, et tu veux savoir ce que vaut cette somme aujourd'hui. Pour chacune de ces questions, il suffit de retourner la formule. Tu finiras par le taux moyen de plusieurs placements.

La formule de l'intérêt simple relie quatre grandeurs. Si tu en connais trois, tu trouves la quatrième par une division. Pour le taux, tu divises l'intérêt par le produit du capital et de la durée. Pour la durée, tu divises l'intérêt par le produit du capital et du taux. Pour le capital, tu divises l'intérêt par le produit du taux et de la durée. Inutile d'apprendre trois formules par cœur : retiens la première et fais l'opération inverse. Puis vérifie chaque résultat en le remettant dans la formule de départ. Si tu retrouves l'intérêt, ton calcul est juste.

Kofi, à Lomé, prête 400 000 francs CFA à son cousin pour son atelier de couture. Six mois plus tard, le cousin lui rend 430 000 francs. Personne n'a parlé de taux, mais il existe bien. L'intérêt vaut 30 000 francs. La durée vaut six mois, soit une demi-année. Le taux annuel est donc 30 000 divisé par 400 000 fois 0,5, c'est-à-dire 30 000 divisé par 200 000 : 0,15, soit 15 % par an. Ce réflexe est utile chaque fois qu'on te propose de rendre « un peu plus » plus tard : traduis la différence en taux annuel pour pouvoir la comparer.

Nadia, à Casablanca, place 50 000 dirhams à 4 % par an et se demande combien de temps il faut pour gagner 1 000 dirhams d'intérêts. On divise l'intérêt voulu par le capital fois le taux : 1 000 divisé par 2 000. On obtient 0,5, soit une demi-année. En mois, cela fait six mois. En jours, sur une année de 360 jours, cela fait 180 jours. Remarque que 2 000, le produit du capital et du taux, est l'intérêt d'une année complète. Diviser l'intérêt voulu par l'intérêt d'une année donne directement la durée en années. C'est une façon rapide de raisonner.

Faisons maintenant le chemin inverse de la valeur acquise. Tu dois recevoir 1 060 000 francs dans six mois. Combien vaut cette somme aujourd'hui, si l'argent rapporte 12 % par an ? Tu cherches le capital qui, placé six mois à 12 %, donnerait 1 060 000. Il suffit de diviser par le coefficient : un plus 0,12 fois 0,5, soit 1,06. Le résultat est 1 000 000. On appelle cette opération l'actualisation. Elle revient sans cesse en mathématiques financières : pour comparer deux sommes versées à des dates différentes, on les ramène à la même date, le plus souvent aujourd'hui.

En intérêts simples, un taux annuel se découpe facilement. 12 % par an, c'est 6 % par semestre, 3 % par trimestre et 1 % par mois. On dit que ces taux sont proportionnels. Ils donnent le même intérêt sur la même durée : 1 % par mois pendant douze mois fait bien 12 %, parce que l'intérêt est toujours calculé sur le même capital. Garde cette idée en tête, car tu verras au module 2 qu'en intérêts composés, ce n'est plus vrai : 1 % par mois capitalisé chaque mois fait un peu plus de 12 % sur l'année. Cette nuance crée beaucoup de confusion dans les offres de crédit.

Une association de Saint-Louis a fait deux placements : 1 000 000 de francs CFA à 5 % pendant 90 jours, et 2 000 000 à 8 % pendant 30 jours. Quel taux unique donnerait le même intérêt total ? Ce n'est pas la moyenne de 5 et 8 %, car les montants et les durées diffèrent. On additionne les produits capital fois taux fois jours : 4 500 000 plus 4 800 000, soit 9 300 000. On additionne les produits capital fois jours : 90 000 000 plus 60 000 000, soit 150 000 000. Le rapport donne 0,062, soit 6,2 %. Chaque placement pèse selon son capital et sa durée.

Avec une seule formule, tu sais maintenant trouver n'importe quelle inconnue : le taux, la durée ou le capital. Tu sais aussi actualiser une somme à court terme en divisant par un plus t fois n. Tu as vu que les taux se partagent proportionnellement en intérêts simples, et que le taux moyen de plusieurs placements se calcule en pondérant chaque taux par le capital et la durée. Dans la prochaine leçon, on applique tout cela à une opération que font chaque jour les entreprises : remettre un effet de commerce à la banque pour être payé avant l'échéance.