Taux proportionnels et taux équivalents

Une banque affiche 18 % par an, une institution de microfinance 1,5 % par mois, une coopérative 4,5 % par trimestre. Laquelle est la moins chère ? Pour répondre, il faut ramener tous ces taux à la même période. Mais il existe deux façons de le faire : la méthode proportionnelle, qui divise ou multiplie simplement, et la méthode équivalente, qui tient compte de la capitalisation. Elles ne donnent pas le même résultat. Dans cette leçon, tu vas apprendre les deux, voir quand chacune est utilisée, et éviter les erreurs de comparaison les plus fréquentes.

Le taux proportionnel, tu l'as vu au module 1 : on divise le taux annuel par le nombre de périodes dans l'année. 12 % par an devient 1 % par mois. En intérêts simples, c'est parfaitement juste. En intérêts composés, les choses changent. Si tu places 100 à 1 % par mois pendant douze mois en capitalisant chaque mois, tu obtiens 100 fois 1,01 puissance 12, soit environ 112,68. Tu as gagné 12,68 %, et non 12 %. La différence vient des intérêts gagnés chaque mois, qui rapportent à leur tour les mois suivants. Le taux proportionnel sous-estime donc un peu le coût ou le rendement réel.

Deux taux sont équivalents s'ils donnent la même valeur acquise sur la même durée, en intérêts composés. Un an au taux annuel doit donner autant que douze mois au taux mensuel. On écrit : un plus le taux annuel égale un plus le taux mensuel, puissance 12. Pour passer de l'annuel au mensuel, on prend la puissance un douzième, puis on retire 1. Pour 12 % par an, le taux mensuel équivalent vaut environ 0,9489 %, un peu moins que 1 %. Dans l'autre sens, 1 % par mois correspond à 12,68 % par an. Ces deux chiffres servent souvent de contrôle.

Reprenons les trois offres de crédit, toutes avec des intérêts capitalisés à chaque période. A annonce 18 % par an, B 1,5 % par mois, C 4,5 % par trimestre. En taux proportionnel, B et C font toutes les deux 18 % par an : on croirait que les trois se valent. En taux équivalent, B donne 1,015 puissance 12 moins 1, soit environ 19,56 % par an. C donne 1,045 puissance 4 moins 1, soit environ 19,25 %. Pour un emprunteur, le classement est donc A, puis C, puis B. À taux proportionnel égal, plus la capitalisation est fréquente, plus le coût réel augmente.

Beaucoup de contrats annoncent un taux annuel avec une fréquence de capitalisation : par exemple 6 % par an, capitalisé chaque trimestre. Ce 6 % est un taux nominal. Il signifie que chaque trimestre, la banque applique 6 divisé par 4, soit 1,5 %. Le taux effectif, celui qui mesure ce que tu gagnes vraiment sur un an, vaut 1,015 puissance 4 moins 1, soit environ 6,136 %. Le tableur a une fonction pour cela : TAUX.EFFECTIF, avec le taux nominal et le nombre de capitalisations par an. La fonction inverse s'appelle TAUX.NOMINAL. En anglais, ce sont EFFECT et NOMINAL.

Les textes officiels ne retiennent pas tous la même méthode pour afficher le coût d'un crédit. Dans l'Union monétaire ouest-africaine, le guide méthodologique de la BCEAO sur le taux effectif global explique que le TEG annuel est proportionnel au taux de période : pour des échéances mensuelles, on multiplie le taux mensuel par douze. En France, un rapport du Comité consultatif du secteur financier publié en 2017 rappelle que le TAEG des crédits aux particuliers suit la méthode équivalente, issue du droit européen. Les deux méthodes sont correctes, mais elles ne donnent pas le même chiffre. Tu les reverras en détail dans le module 5.

Que faire quand la durée n'est pas un nombre entier d'années ? Prends 1 000 000 placés à 8 % pendant deux ans et trois mois. La méthode exponentielle applique la formule avec n égal à 2,25 : on obtient environ 1 189 059. La méthode mixte, encore présente dans certains manuels et contrats, capitalise les deux années entières puis ajoute un intérêt simple pour les trois mois restants : environ 1 189 728. L'écart est petit, mais il existe. Les tableurs et la plupart des calculs modernes utilisent la méthode exponentielle. Si un contrat prévoit autre chose, c'est le contrat qui s'applique.

Retiens la différence. Le taux proportionnel se contente de diviser ou de multiplier. Le taux équivalent tient compte des intérêts sur les intérêts, et il se calcule avec une puissance ou une racine. En intérêts composés, 1 % par mois correspond à 12,68 % par an, pas à 12 %. Un taux nominal capitalisé plusieurs fois par an cache un taux effectif plus élevé. Et avant de comparer deux offres, ramène-les à la même période et à la même méthode. Tu as fini le module 2. Le lab va te faire construire un convertisseur de taux que tu pourras réutiliser toute ta vie.