Quand les intérêts produisent des intérêts

Dans le module 1, l'intérêt était toujours calculé sur le capital de départ. Mais que se passe-t-il si tu laisses les intérêts sur ton compte au lieu de les retirer ? Ils s'ajoutent au capital, et l'année suivante, ils rapportent eux aussi. C'est le principe des intérêts composés, qu'on appelle aussi la capitalisation. Dans cette leçon, tu vas démontrer la formule pas à pas, mesurer l'écart avec les intérêts simples sur cinq et sur vingt ans, et faire le calcul dans un tableur. C'est la formule la plus importante de tout le parcours.

Sophie, à Montréal, place 10 000 dollars canadiens sur un placement à terme qui rapporte 4 % par an, intérêts réinvestis. À la fin de la première année, elle a 10 000 plus 400, soit 10 400 dollars. La deuxième année, les 4 % s'appliquent à 10 400 : l'intérêt vaut 416 dollars, et le capital passe à 10 816. La troisième année, l'intérêt vaut 432,64 dollars, et le capital atteint 11 248,64. L'intérêt grandit chaque année, parce que les intérêts déjà gagnés rapportent à leur tour. En intérêts simples, il serait resté à 400 dollars par an.

Regarde ce qu'on a fait : chaque année, on a multiplié le capital par 1,04. Ajouter 4 %, c'est multiplier par un plus 0,04. Après une année, on a C0 fois 1,04. Après deux années, C0 fois 1,04 fois 1,04, c'est-à-dire 1,04 au carré. Après n années, on a multiplié n fois par le même nombre. D'où la formule : Cn égale C0 fois, parenthèse, un plus i, puissance n. Comme pour les intérêts simples, le taux et la durée doivent parler de la même période. Si le taux est mensuel, n compte des mois. Si le taux est annuel, n compte des années.

Comparons les deux modes avec le placement de Sophie. Sur cinq ans, les intérêts simples donnent 12 000 dollars, et les intérêts composés 12 166,53. L'écart est de 166 dollars, ce n'est pas énorme. Sur vingt ans, les intérêts simples donnent 18 000 dollars, et les intérêts composés 21 911,23. L'écart dépasse maintenant 3 900 dollars. Plus la durée est longue, plus les intérêts sur les intérêts pèsent lourd. C'est vrai pour l'épargnant, et aussi pour celui qui doit de l'argent : une dette dont on ne paie pas les intérêts peut grossir très vite. Le temps aide l'épargnant et menace l'emprunteur en retard.

Voici la version rigoureuse de la démonstration. Appelle Ck le capital à la fin de l'année k. On passe d'une année à la suivante en multipliant par un plus i : Ck plus un égale Ck fois, parenthèse, un plus i. Une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre s'appelle une suite géométrique, et ce nombre s'appelle la raison. Le cours de mathématiques dit alors que le terme de rang k vaut le premier terme fois la raison puissance k. On retrouve notre formule. Cette idée de suite géométrique servira encore pour les annuités du module 3.

Le tableur a une fonction toute prête : VC, pour valeur capitalisée, qu'on appelle FV dans les versions en anglais. Elle prend le taux par période, le nombre de périodes, le versement régulier, ici zéro, puis la valeur actuelle. Pour Sophie, tape égal VC, parenthèse, 4 %, point-virgule, 5, point-virgule, 0, point-virgule, moins 10 000. Le tableur affiche 12 166,53. Pourquoi le moins devant 10 000 ? Parce que le tableur suit la convention vue au module 1 : l'argent que tu verses est négatif, celui que tu reçois est positif. Selon ton tableur et ta langue, le séparateur est un point-virgule ou une virgule.

Trois choses font grossir un capital placé à intérêts composés. Le taux, bien sûr. La durée, qui agit encore plus fort à cause de la puissance. Et la fréquence de capitalisation : des intérêts ajoutés chaque mois rapportent un peu plus que des intérêts ajoutés une fois par an, tu le verras dans la leçon 2.4. À l'inverse, les retraits et les frais réduisent le capital qui travaille. Des frais de gestion de 1 % par an sur un placement à 4 % ramènent le rendement net autour de 3 %. Sur vingt ans, la différence sur la valeur finale est importante. Regarde toujours le rendement après frais.

Retiens l'essentiel. En intérêts composés, les intérêts sont ajoutés au capital et rapportent à leur tour. La valeur acquise après n périodes vaut C0 fois un plus i, puissance n, avec un taux et une durée dans la même unité. L'écart avec les intérêts simples est faible sur quelques mois et devient très grand sur des décennies. Dans un tableur, la fonction VC fait le calcul, à condition de mettre le capital placé en négatif. Reste le chemin inverse : que vaut aujourd'hui une somme que tu ne recevras que dans plusieurs années ?