Trouver le taux ou la durée

Dans les deux leçons précédentes, tu connaissais le taux et la durée. Souvent, c'est l'inverse : tu sais combien tu as mis et combien tu as récupéré, et tu veux savoir à quel taux ton argent a vraiment travaillé. Ou bien tu connais le taux et tu te demandes combien d'années il faudra pour atteindre ton objectif. Une racine répond à la première question, un logarithme à la seconde. Tu verras aussi une règle de calcul mental très utile, qui permet de démasquer en quelques secondes une promesse de gain trop belle.

Partons de la formule de la valeur acquise. Si tu divises les deux côtés par C0, tu obtiens : un plus i, puissance n, égale le rapport entre le capital final et le capital de départ. Pour enlever la puissance n, on prend la racine n-ième, ce qui revient à élever à la puissance un sur n. Il reste à retirer 1. Sur une calculatrice, tu calcules le rapport, puis tu utilises la touche puissance avec l'exposant un divisé par n, entre parenthèses. Ce taux s'appelle le taux de rendement annuel moyen, ou taux actuariel, de l'opération : c'est le taux composé qui aurait donné le même résultat.

Patrick a acheté un terrain à Kinshasa pour 20 000 dollars américains. Six ans plus tard, il le revend 32 000 dollars. Il est content : il a gagné 60 %. Mais 60 % en six ans, cela fait combien par an ? Pas 10 %, car les gains se composent. Le rapport vaut 1,6. On l'élève à la puissance un sixième : on obtient environ 1,0815. Le taux annuel moyen est donc d'environ 8,15 %. Ce chiffre permet de comparer le terrain à un placement bancaire ou à un autre projet. Il ne tient pas compte des frais d'achat, des taxes ni de l'entretien, qui réduiraient le rendement réel.

Pour trouver la durée, il faut faire descendre l'exposant n. C'est le rôle du logarithme, noté ln sur les calculatrices. Sa propriété utile est simple : le logarithme d'une puissance, c'est l'exposant fois le logarithme. On obtient : n égale ln du rapport, divisé par ln de un plus i. Exemple : Aïcha, à Labé, a 2 000 000 de francs guinéens et veut atteindre 3 000 000 avec un placement à 7 % par an. Le rapport vaut 1,5. Ln de 1,5 vaut environ 0,4055, ln de 1,07 environ 0,0677. La division donne environ 5,99. Il lui faut donc à peu près six ans.

Voici un outil de calcul mental. Pour savoir en combien de temps un capital double, divise 72 par le taux en pour cent. À 8 % par an, 72 divisé par 8 donne 9 : ton capital double en neuf ans environ. Le calcul exact avec les logarithmes donne 9,01 ans, c'est presque parfait. À 24 % par an, la règle donne 3 ans, alors que le calcul exact donne environ 3,22 ans. La règle devient moins précise quand le taux est élevé, mais elle donne le bon ordre de grandeur. Elle ne vaut que pour les intérêts composés. Utilise-la pour vérifier un résultat ou juger une offre en quelques secondes.

Sur les réseaux sociaux, des messages promettent de doubler ton argent en trois mois. Calculons. Doubler en trois mois, c'est multiplier par 2 tous les trois mois. Sur un an, il y a quatre périodes de trois mois : 2 fois 2 fois 2 fois 2, ton argent serait multiplié par 16. Cela correspond à un gain de 1 500 % par an, ou environ 26 % par mois. Aucune activité honnête ne rapporte cela de façon régulière. Ce genre de promesse cache très souvent un montage où les premiers participants sont payés avec l'argent des suivants, jusqu'à l'effondrement. Fais le calcul avant de verser un franc.

Le tableur fait ces calculs en une ligne. La fonction TAUX, qu'on appelle RATE en anglais, prend le nombre de périodes, le versement régulier, ici zéro, la valeur actuelle et la valeur future. Pour le terrain de Patrick, tape égal TAUX, parenthèse, 6, 0, moins 20 000, 32 000 : tu obtiens environ 8,15 %. La fonction NPM, pour nombre de périodes, NPER en anglais, prend le taux, le versement, la valeur actuelle et la valeur future. Pour Aïcha : égal NPM, 7 %, 0, moins 2 000 000, 3 000 000, ce qui donne environ 5,99. Il faut une somme négative et une positive, sinon le tableur affiche une erreur.

Tu sais maintenant trouver le taux d'un placement avec une racine, et la durée nécessaire avec un logarithme, à la main comme avec les fonctions TAUX et NPM. La règle de 72 te donne en un instant le temps de doublement d'un capital. Et tu as vu comment un simple calcul démasque une promesse de gain impossible. Garde ce réflexe toute ta vie. Une question crée plus de confusion que les autres dans les offres de crédit et d'épargne : pourquoi 1 % par mois ne fait-il pas exactement 12 % par an ?