Des rationnels aux réels

Bienvenue dans ce parcours d'analyse. Pendant sept modules, tu vas apprendre à étudier des suites, des limites, des dérivées et des intégrales, et surtout à démontrer ce que tu calcules. On commence par la base de tout : les nombres réels. Tu les utilises depuis le collège sans qu'on t'ait vraiment dit ce qu'ils sont. Dans cette leçon, tu vas voir pourquoi les fractions ne suffisent pas pour mesurer toutes les longueurs, démontrer que racine de deux n'est pas une fraction, et comprendre comment une calculatrice encadre un nombre de plus en plus finement.

Imagine un carreleur de Casablanca qui pose des carreaux carrés d'un mètre de côté. Il veut couper un carreau en deux triangles, le long de la diagonale. Quelle est la longueur de cette diagonale ? Le théorème de Pythagore donne d au carré égale un plus un, donc deux. Sur son mètre ruban, il lit environ un mètre quarante et un. Mais peut-on écrire cette longueur exactement comme une fraction, par exemple mille quatre cent quatorze sur mille, ou une fraction plus fine encore ? Les mathématiciens grecs de l'Antiquité se sont posé cette question, et la réponse est non. Voyons pourquoi.

Raisonne par l'absurde : suppose que racine de deux s'écrit p sur q, avec une fraction simplifiée au maximum, donc p et q sans diviseur commun. En élevant au carré, tu obtiens p au carré égale deux q au carré. Donc p au carré est pair. Or le carré d'un nombre impair est impair, donc p est pair, et tu peux écrire p égale deux k. En remplaçant, quatre k au carré égale deux q au carré, donc q au carré égale deux k au carré, et q est pair à son tour. Mais alors p et q sont divisibles par deux, alors que la fraction était simplifiée. C'est impossible : racine de deux n'est pas rationnelle.

L'ensemble des rationnels, qu'on note Q, est très serré : entre deux fractions, tu en trouves toujours une autre, par exemple leur moyenne. On pourrait croire qu'il ne manque rien. Pourtant, la diagonale du carreau n'a pas de place dans Q. Le nombre pi, rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre, et le nombre e, que tu rencontreras au module 2 et étudieras au module 5, sont eux aussi irrationnels. L'ensemble des réels, noté R, est construit pour boucher tous ces trous. En pratique, représente-le comme une droite graduée sans aucun manque : chaque point de la droite correspond à un réel, et chaque réel à un point.

Même si racine de deux n'est pas une fraction, tu peux l'approcher aussi près que tu veux par des nombres décimaux. Un au carré vaut un, deux au carré vaut quatre, donc racine de deux est entre un et deux. Ensuite, un virgule quatre au carré donne un virgule quatre-vingt-seize, plus petit que deux, et un virgule cinq au carré donne deux virgule vingt-cinq, plus grand. Donc racine de deux est entre un virgule quatre et un virgule cinq. En continuant chiffre par chiffre, tu gagnes une décimale à chaque étape. Un réel, c'est exactement cela : un nombre qu'on peut encadrer par des décimaux avec une précision aussi fine qu'on le souhaite.

Ouvre Python, tape from math import sqrt, puis demande racine de deux. Tu obtiens un virgule quatre, un, quatre, deux, un, trois, cinq, six, et ainsi de suite, avec environ seize chiffres significatifs. Ce n'est pas racine de deux : c'est le nombre à virgule flottante le plus proche que l'ordinateur sait représenter. La preuve : si tu élèves ce résultat au carré et que tu le compares à deux, Python répond False, car il trouve deux virgule zéro, zéro, zéro, avec un quatre tout au bout. Retiens la leçon : l'ordinateur calcule avec des approximations. C'est la démonstration qui te dit ce qui est vrai exactement.

Retiens trois idées. D'abord, certaines longueurs très simples, comme la diagonale d'un carré de côté un, ne sont pas des fractions : la preuve par l'absurde que tu viens de voir est un modèle de raisonnement que tu réutiliseras souvent. Ensuite, l'ensemble des réels comble les trous des rationnels, et c'est ce qui permettra de parler de limites. Enfin, un réel se laisse encadrer par des décimaux d'aussi près qu'on veut, et la valeur affichée par une machine n'est qu'une approximation. Dans la prochaine leçon, tu vas apprendre à manipuler les inégalités et la valeur absolue sans erreur.