Inégalités et valeur absolue

En analyse, tu écriras beaucoup plus d'inégalités que d'égalités. Pour montrer qu'une suite s'approche d'un nombre, tu montreras que l'écart devient plus petit que n'importe quelle marge. Il faut donc manipuler les inégalités sans hésiter et sans faute de sens. Dans cette leçon, tu revois les règles de calcul, tu apprends à lire la valeur absolue comme une distance sur la droite réelle, et tu rencontres l'inégalité triangulaire. Tu verras aussi comment un atelier qui fabrique des pièces avec une tolérance utilise exactement ces outils, sans forcément leur donner ce nom.

Tu peux ajouter le même nombre aux deux membres d'une inégalité, elle reste vraie. Tu peux multiplier par un nombre strictement positif, le sens ne change pas. Mais si tu multiplies par un nombre négatif, le sens s'inverse : deux est plus petit que trois, mais moins deux est plus grand que moins trois. Pour les inverses, si a et b sont strictement positifs et a plus petit que b, alors un sur a est plus grand que un sur b. Pense à un gâteau : le partager entre plus de personnes donne des parts plus petites. Ces règles paraissent simples, mais beaucoup d'erreurs de copie viennent d'un signe oublié.

Voici une erreur très fréquente. Pour résoudre x moins un, divisé par x plus deux, supérieur ou égal à zéro, beaucoup d'étudiants multiplient par x plus deux et écrivent x moins un supérieur ou égal à zéro. C'est faux dès que x plus deux est négatif. La bonne méthode est un tableau de signes. Le numérateur s'annule en un, le dénominateur en moins deux, qui est une valeur interdite. Le quotient est positif quand les deux facteurs ont le même signe : pour x strictement inférieur à moins deux, ou pour x supérieur ou égal à un. Teste un point de chaque zone, par exemple zéro, qui donne moins un demi.

La valeur absolue d'un nombre, c'est ce nombre sans son signe : la valeur absolue de moins sept vaut sept. Mais la lecture la plus utile est géométrique : la valeur absolue de x moins a, c'est la distance entre x et a sur la droite réelle. Dire que la valeur absolue de x moins trois est inférieure ou égale à deux, c'est dire que x est à au plus deux unités de trois, donc entre un et cinq. Cette traduction marche dans les deux sens et tu t'en serviras sans arrêt : un intervalle centré en a de rayon r, c'est l'ensemble des x dont la distance à a ne dépasse pas r.

Dans un atelier d'usinage à Bruxelles ou à Abidjan, une pièce est commandée avec une longueur de vingt-cinq millimètres, à un dixième près. Avec la valeur absolue, la condition s'écrit : la valeur absolue de x moins vingt-cinq est inférieure ou égale à zéro virgule un. C'est exactement dire que x est entre vingt-quatre virgule neuf et vingt-cinq virgule un. L'intérêt de la valeur absolue, c'est qu'elle mesure l'écart sans se soucier de son sens : une pièce trop longue ou trop courte de la même quantité est aussi mauvaise. Tu retrouveras cette idée dans la définition de la limite, avec une tolérance qu'on appellera epsilon.

Voici un outil que tu utiliseras dans presque toutes les démonstrations : la valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. Pour la démontrer, remarque que x est compris entre moins la valeur absolue de x et la valeur absolue de x, fais de même pour y, puis ajoute les deux encadrements. Concrètement, quand deux erreurs s'ajoutent, l'erreur totale ne dépasse pas la somme des deux. Si ta règle se trompe d'au plus un millimètre et ta lecture d'au plus deux millimètres, l'erreur totale est d'au plus trois millimètres. L'égalité n'a lieu que si les deux nombres ont le même signe.

Retiens les réflexes de cette leçon. Quand tu multiplies une inégalité, regarde toujours le signe du facteur, et si tu ne le connais pas, fais un tableau de signes. Lis la valeur absolue de x moins a comme une distance : c'est la clé pour traduire une tolérance en encadrement, et inversement. Et garde sous la main l'inégalité triangulaire, que tu utiliseras pour majorer des écarts dans presque toutes les démonstrations de limites. Pour t'entraîner, résous à la main la valeur absolue de deux x moins un inférieure à cinq, puis vérifie avec un tracé en Python. Tu dois trouver x entre moins deux et trois.