Suites monotones, adjacentes et récurrentes

Jusqu'ici, tu connaissais la limite avant de la démontrer. Mais souvent, on ne la connaît pas à l'avance. Comment être sûr qu'une suite converge sans savoir vers quoi ? Le théorème de la limite monotone répond à cette question, grâce à la propriété de la borne supérieure du module 1. Dans cette leçon, tu vas l'utiliser, voir comment deux suites peuvent se rapprocher l'une de l'autre en encadrant un nombre, et étudier une méthode très ancienne, attribuée à Héron d'Alexandrie, qui calcule une racine carrée avec une rapidité étonnante. C'est une des façons dont une machine peut obtenir une racine.

Voici le théorème. Toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses termes. La preuve est courte. Cette borne supérieure, appelons-la l, existe grâce à la propriété des réels. Pour un epsilon donné, il existe un terme u N plus grand que l moins epsilon. Comme la suite est croissante, tous les termes suivants sont aussi plus grands que l moins epsilon, et ils restent inférieurs ou égaux à l. Ils sont donc tous dans la marge. De même, une suite décroissante et minorée converge. Et une suite croissante non majorée tend vers plus l'infini.

Deux suites sont dites adjacentes quand l'une est croissante, l'autre décroissante, et que leur différence tend vers zéro. Dans ce cas, elles convergent toutes les deux vers la même limite, et cette limite reste coincée entre elles à chaque rang. C'est une excellente méthode d'encadrement : à chaque étape, tu connais un intervalle qui contient la limite, et sa largeur te dit la précision obtenue. Pour le démontrer, on vérifie que u n reste inférieur à v n, puis on applique le théorème de la limite monotone à chacune des deux suites. Un exemple très parlant : l'encadrement du nombre e, que tu retrouveras au module 5.

Prends u n, la somme des inverses des factorielles, de zéro factorielle jusqu'à n factorielle. Elle est croissante, puisqu'on ajoute chaque fois un nombre positif. Prends v n égale u n plus un sur n fois n factorielle. Un calcul de quelques lignes montre que v n est décroissante, et leur différence, un sur n fois n factorielle, tend vers zéro. Les deux suites sont adjacentes, et leur limite commune est le nombre e, base du logarithme népérien. Pour n égale cinq, u vaut environ deux virgule sept, un, six, six, sept, et v environ deux virgule sept, un, huit, trois, trois. Avec six termes seulement, tu connais e à deux millièmes près.

Une famille de Bamako achète un terrain carré de cinq cents mètres carrés et veut connaître la longueur du côté pour commander la clôture : il s'agit de racine de cinq cents. Comme vingt au carré vaut quatre cents, pars de vingt. Vingt est trop petit, donc cinq cents divisé par vingt, soit vingt-cinq, est trop grand : prends la moyenne des deux, vingt-deux virgule cinq. Recommence avec cette nouvelle valeur, et ainsi de suite. Tu obtiens vingt-deux virgule trois six un un, puis vingt-deux virgule trois six zéro six sept neuf huit. L'erreur passe de quatorze centièmes à quatre dix-millièmes, puis à quatre milliardièmes : chaque erreur est à peu près proportionnelle au carré de la précédente, on parle de convergence quadratique. La méthode porte le nom de Héron d'Alexandrie, savant grec du premier siècle.

Fais la preuve pour un nombre a positif quelconque, avec un premier terme positif : tous les termes restent positifs. Pour un x positif, la moyenne de x et de a sur x est au moins égale à racine de a. Il suffit de développer le carré de racine de x moins racine de a sur x, qui est positif : c'est l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Tous les termes à partir de u un dépassent donc racine de a. Ensuite, le quotient de u n plus un par u n vaut un plus a sur u n au carré, le tout divisé par deux, et il est inférieur ou égal à un puisque u n au carré dépasse a : la suite décroît à partir du rang un. Décroissante et minorée, elle converge vers une limite l au moins égale à racine de a. En passant à la limite dans la relation, l égale la moyenne de l et de a sur l, donc l au carré égale a, et l égale racine de a.

Retiens le théorème de la limite monotone : il prouve l'existence d'une limite sans la connaître. Retiens les suites adjacentes, qui encadrent leur limite à chaque étape. Et pour une suite définie par u n plus un égale f de u n, suis ce plan : montre que les termes restent dans un intervalle, étudie le sens de variation, conclus à la convergence, puis cherche la limite parmi les solutions de l égale f de l. Cette dernière étape demande que f soit continue en l, une notion que tu verras au module 3. Dans le lab, tu vas programmer la méthode de Héron pour n'importe quel nombre et rédiger sa preuve.