Partie entière et approximations

La partie entière paraît être un outil d'école primaire, mais elle sert partout : pour compter des objets, pour découper du temps en périodes, pour arrondir dans un programme informatique, et pour démontrer qu'un réel s'approche par des décimaux. Elle cache aussi un piège classique avec les nombres négatifs, que les calculatrices et les langages de programmation ne traitent pas tous de la même façon. Dans cette leçon, tu vas la définir proprement, t'en servir dans des problèmes de comptage, et voir comment elle fabrique les approximations décimales d'un réel.

La partie entière de x, notée E de x, ou parfois avec des crochets, est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Ainsi, la partie entière de trois virgule sept vaut trois, et celle de cinq vaut cinq. Elle est caractérisée par un double encadrement : E de x est inférieur ou égal à x, et x est strictement inférieur à E de x plus un. Retiens cet encadrement, c'est lui qu'on utilise dans les démonstrations. Pourquoi existe-t-elle ? Parce que, pour tout réel x, il existe des entiers plus grands que x : c'est la propriété d'Archimède. Parmi les entiers inférieurs ou égaux à x, on prend le plus grand.

Que vaut la partie entière de moins deux virgule cinq ? Beaucoup répondent moins deux, et c'est faux. Le plus grand entier inférieur ou égal à moins deux virgule cinq est moins trois, puisque moins deux est plus grand que moins deux virgule cinq. Ce qui donne moins deux, c'est la troncature, qui se contente d'effacer les décimales. Les deux coïncident pour les nombres positifs, pas pour les négatifs. En Python, la fonction floor du module math donne la partie entière, moins trois, alors que int donne la troncature, moins deux. Dans un programme qui manipule des températures négatives, cette différence crée des erreurs difficiles à repérer.

Une éleveuse de Thiès ramasse deux cent cinquante œufs et les range dans des plateaux de trente. Combien de plateaux pleins ? Deux cent cinquante divisé par trente donne huit virgule trois, trois, trois, et la partie entière vaut huit. Il reste deux cent cinquante moins deux cent quarante, soit dix œufs. Pour tout ranger, il lui faut donc neuf plateaux, le dernier incomplet. Ce deuxième nombre s'appelle la partie entière par excès, que donne la fonction ceil en Python. Ce petit calcul revient sans cesse : nombre de bus pour transporter un groupe, nombre de semaines complètes dans une période, nombre de pages pour imprimer un document.

La partie entière fabrique les approximations décimales. Multiplie x par dix puissance n, prends la partie entière, puis divise par dix puissance n. Le nombre obtenu, a indice n, est inférieur ou égal à x, et x est strictement inférieur à a n plus dix puissance moins n. Il suffit de diviser par dix puissance n l'encadrement de la partie entière. Pour racine de deux et n égale trois, mille fois racine de deux vaut mille quatre cent quatorze virgule deux, la partie entière vaut mille quatre cent quatorze, et tu obtiens un virgule quatre cent quatorze. C'est l'approximation par défaut à un millième près. Tu viens de démontrer ce que la leçon 1.1 montrait sur un exemple.

Arrondir au plus proche, ce n'est pas prendre la partie entière. Pour un nombre positif, une façon simple d'arrondir à l'unité est de calculer la partie entière de x plus un demi : deux virgule six donne trois, deux virgule quatre donne deux. Attention aux cas exactement à mi-chemin. En Python, la fonction round arrondit deux virgule cinq à deux, et non à trois, car elle choisit l'entier pair dans ce cas, pour que les arrondis ne penchent pas toujours du même côté. Dans un rapport, dis toujours quelle règle tu appliques : par défaut, par excès ou au plus proche. Une unité d'écart sur des milliers de lignes finit par compter.

Retiens l'encadrement qui définit la partie entière : E de x est inférieur ou égal à x, et x est strictement inférieur à E de x plus un. Méfie-toi des nombres négatifs, où partie entière et troncature ne donnent pas le même résultat, et vérifie le comportement de ton outil avant de t'en servir. Retiens aussi que la partie entière fabrique les approximations décimales d'un réel avec la précision voulue. Pour t'entraîner, calcule à la main la partie entière de moins sept tiers, puis vérifie avec math.floor : tu dois trouver moins trois. Prochaine leçon : les majorants et la borne supérieure, la propriété qui distingue vraiment les réels des rationnels.