Majorants, bornes supérieure et inférieure

Cette leçon est plus abstraite que les précédentes, mais tout le parcours s'appuie sur elle. Tu vas apprendre à dire précisément qu'un ensemble de nombres ne dépasse pas une certaine valeur, et à trouver la plus petite valeur qui joue ce rôle. Cette idée, la borne supérieure, permet de démontrer qu'une suite croissante et majorée a une limite, que le théorème des valeurs intermédiaires est vrai, ou qu'une fonction continue atteint son maximum. Elle explique aussi, enfin, ce qui manque aux rationnels. Prends ton temps et refais chaque exemple sur papier.

Un nombre M est un majorant d'un ensemble A si tous les éléments de A sont inférieurs ou égaux à M. De même, m est un minorant si tous les éléments de A lui sont supérieurs ou égaux. Un ensemble majoré et minoré est dit borné. Prends l'intervalle fermé en zéro et ouvert en un. Un est un majorant, mais deux et cent aussi : dès qu'il existe un majorant, il en existe une infinité. La vraie question est donc : quel est le plus petit majorant ? Pour les notes d'une classe sur vingt, vingt est un majorant, mais la meilleure note de la classe est un majorant bien plus intéressant.

Le plus grand élément de A, c'est un majorant qui appartient à A. L'intervalle fermé de zéro à un a un plus grand élément, un. L'intervalle ouvert en un n'en a pas : pour tout x de cet intervalle, le milieu entre x et un est encore dans l'intervalle et il est plus grand que x. Pourtant, un reste le plus petit majorant, car tout nombre plus petit que un est dépassé par un élément de l'intervalle. On appelle ce plus petit majorant la borne supérieure, notée sup de A. Quand il n'y a pas de plus grand élément, elle existe quand même, mais elle n'est alors pas un élément de A.

Pour prouver qu'un nombre M est la borne supérieure de A, deux vérifications suffisent. La première : M est un majorant, aucun élément de A ne passe au-dessus. La seconde dit que M ne peut pas être remplacé par un majorant plus petit. Prends n'importe quel nombre un peu plus bas, M moins epsilon : il faut qu'un élément de A le dépasse. Si c'est vrai pour toutes les marges epsilon positives, aucun nombre inférieur à M n'est un majorant, et M est bien le plus petit. Dessine-le sur une droite graduée : la zone au-dessus de M est vide, mais chaque petite bande sous M contient des éléments de A. Cette structure, pour tout epsilon il existe, reviendra dans toutes les définitions de limite.

Prends l'ensemble des nombres un moins un sur n, pour n entier supérieur ou égal à un. Il contient zéro, un demi, deux tiers, trois quarts, et ainsi de suite. Tous ces nombres sont strictement plus petits que un, donc un est un majorant. Soit maintenant epsilon strictement positif. Choisis un entier n plus grand que un sur epsilon, il en existe grâce à la propriété d'Archimède. Alors un sur n est plus petit que epsilon, donc un moins un sur n est plus grand que un moins epsilon. Les deux conditions sont remplies : la borne supérieure vaut un, et elle n'est jamais atteinte. Le plus petit élément, lui, existe : c'est zéro, obtenu pour n égale un.

Voici la propriété qui caractérise les réels : toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure. On l'admet dans ce parcours, car sa preuve demande une construction complète des réels. Dans les rationnels, elle est fausse. Prends les troncatures décimales de racine de deux vues en leçon 1.3 : un, un virgule quatre, un virgule quatre un, et ainsi de suite. Ce sont des rationnels, et deux les majore. Dans R, leur borne supérieure est racine de deux, puisque la troncature à n décimales est à moins de dix puissance moins n de racine de deux. Mais dans Q, aucun majorant n'est le plus petit : un rationnel q qui majore D est forcément plus grand que racine de deux, et entre les deux se trouve un autre rationnel, qui majore encore D tout en étant plus petit que q. C'est la façon rigoureuse de dire que Q a des trous.

Retiens la définition : la borne supérieure est le plus petit des majorants, et la borne inférieure le plus grand des minorants. Elle peut exister sans être un élément de l'ensemble, comme pour un moins un sur n. Pour la démontrer, suis toujours le même plan en deux étapes : montrer que c'est un majorant, puis montrer qu'avec n'importe quelle marge epsilon, un élément de l'ensemble passe au-dessus de M moins epsilon. Retiens enfin que cette propriété distingue les réels des rationnels. Dans le lab, tu vas démontrer toi-même des bornes et vérifier tes résultats avec un tableau de valeurs en Python.