Calculer des limites : opérations et comparaison

Revenir à epsilon pour chaque limite serait épuisant. Heureusement, une poignée de théorèmes, démontrés une fois pour toutes avec la définition, permettent de calculer presque toutes les limites usuelles. Dans cette leçon, tu vas voir comment les limites se combinent par somme, produit et quotient, quelles situations restent indéterminées, comment coincer une suite difficile entre deux suites faciles, et comment se comporte une suite géométrique selon sa raison. Ce dernier point répond à une question pratique : que devient, à long terme, un capital, un stock ou une population qui varie d'un même pourcentage chaque année ?

Si deux suites convergent, leur somme converge vers la somme des limites, leur produit vers le produit, et leur quotient vers le quotient, à condition que la limite du dénominateur ne soit pas nulle. Ces règles s'étendent en partie aux limites infinies : plus l'infini plus un nombre donne plus l'infini. Prends la suite trois n au carré plus n, divisée par n au carré plus cinq. Directement, tu obtiens infini sur infini. Divise le haut et le bas par n au carré : il reste trois plus un sur n, sur un plus cinq sur n au carré. Chaque morceau a une limite connue, et le quotient tend vers trois sur un, soit trois.

Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : l'infini moins l'infini, zéro fois l'infini, l'infini sur l'infini et zéro sur zéro. Indéterminé ne veut pas dire que la limite n'existe pas, mais qu'il faut transformer l'expression. Prends racine de n plus un, moins racine de n. Les deux termes tendent vers l'infini. Multiplie et divise par la quantité conjuguée, racine de n plus un plus racine de n. Au numérateur, tu obtiens n plus un moins n, soit un. Il reste un sur une somme qui tend vers l'infini, donc la suite tend vers zéro. Factoriser, diviser par le terme dominant, utiliser le conjugué : ce sont les trois gestes de base.

Le théorème des gendarmes, qu'on appelle aussi théorème d'encadrement, dit ceci : si une suite est coincée, à partir d'un certain rang, entre deux suites qui tendent vers la même limite, alors elle tend aussi vers cette limite. Imagine deux gendarmes qui marchent vers le même poste en tenant un suspect par les bras : le suspect arrive forcément au même endroit. Exemple : sinus de n sur n. Le sinus de n oscille sans avoir de limite, mais il reste entre moins un et un. Donc sinus de n sur n est compris entre moins un sur n et un sur n, qui tendent tous deux vers zéro. La suite tend vers zéro.

Une version plus simple suffit pour l'infini : si une suite est plus grande qu'une autre qui tend vers plus l'infini, elle tend aussi vers plus l'infini. Par exemple, n plus sinus de n est toujours supérieur ou égal à n moins un, qui tend vers l'infini. Autre règle utile : si u n est inférieur ou égal à v n à partir d'un rang, et si les deux convergent, alors la limite de u est inférieure ou égale à celle de v. Attention, les inégalités strictes deviennent larges à la limite. Les termes un sur n sont tous strictement positifs, et pourtant leur limite vaut zéro, qui n'est pas strictement positif.

Le comportement de q puissance n ne dépend que de q. Si q est strictement entre moins un et un, la suite tend vers zéro. Si q vaut un, elle est constante. Si q est plus grand que un, elle tend vers plus l'infini : c'est le cas de l'épargne à un virgule zéro quatre. Si q est inférieur ou égal à moins un, elle oscille sans se fixer. Pour q plus grand que un, l'inégalité de Bernoulli, un plus a puissance n supérieur ou égal à un plus n a, donne une preuve courte. Un stock qui perd dix pour cent par an est multiplié par zéro virgule neuf chaque année : il tend vers zéro sans jamais l'atteindre.

Retiens les outils de calcul. Les limites se combinent par opérations, sauf dans les quatre formes indéterminées, que tu lèves en factorisant, en divisant par le terme dominant ou en multipliant par la quantité conjuguée. Quand une suite résiste, encadre-la entre deux suites plus simples qui ont la même limite. Et retiens le comportement de q puissance n selon la valeur de q, car il revient dans tous les problèmes de croissance et de décroissance. Pour t'entraîner, calcule la limite de deux n moins un, sur cinq n plus trois, puis celle de n moins racine de n au carré plus n. Réponses : deux cinquièmes et moins un demi.