Suites et placements

Bienvenue dans le module 2, consacré aux suites. Une suite, c'est une liste infinie de nombres rangés dans l'ordre : le solde d'un compte année après année, la population d'une ville à chaque recensement, ou les valeurs successives que calcule une machine pour approcher une racine carrée. Dans cette leçon, tu pars d'une question concrète : combien d'années faut-il pour qu'une épargne double quand elle rapporte quatre pour cent par an, à Dakar comme à Montréal ? Pour y répondre, tu vas définir une suite, reconnaître sa nature et construire un tableau de valeurs en Python.

Une suite réelle associe à chaque entier naturel n un nombre réel, noté u indice n. On peut la donner par une formule explicite, comme u n égale un sur n plus un, qui permet de calculer directement le centième terme. On peut aussi la donner par récurrence : un premier terme, puis une règle qui fabrique chaque terme à partir du précédent. Par exemple, u zéro égale deux, et chaque terme vaut trois fois le précédent moins un : tu obtiens deux, cinq, quatorze, quarante et un. Attention à la notation : u n désigne un nombre, alors que la suite entière se note u n entre parenthèses.

Deux familles reviennent sans cesse. Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, la raison r : son terme général est u zéro plus n fois r. Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre q : son terme général est u zéro fois q puissance n. Pour la somme des termes d'une suite géométrique, avec q différent de un, un plus q plus q au carré, jusqu'à q puissance n, vaut un moins q puissance n plus un, divisé par un moins q. Pour la retrouver, multiplie la somme par q et soustrais : presque tous les termes s'annulent. Tu t'en serviras pour les remboursements de crédit.

Aïssatou place un capital à Dakar au taux annuel de quatre pour cent. Avec des intérêts simples, elle reçoit chaque année quatre pour cent du capital de départ seulement : le capital suit une suite arithmétique, et il double au bout de vingt-cinq ans, puisque vingt-cinq fois quatre font cent. Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque année s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour. Chaque année, le capital est multiplié par un virgule zéro quatre : c'est une suite géométrique de raison un virgule zéro quatre. Beaucoup de comptes d'épargne fonctionnent ainsi, mais il faut toujours lire les conditions exactes du contrat.

Avec des intérêts composés, la question devient : quel est le plus petit entier n tel que un virgule zéro quatre puissance n soit au moins égal à deux ? Le capital de départ n'intervient pas : que tu places cent mille francs CFA à Dakar ou mille dollars canadiens à Montréal, le temps de doublement est le même. En calculant les puissances, tu trouves environ un virgule neuf quatre huit pour dix-sept ans, encore sous deux, et environ deux virgule zéro deux six pour dix-huit ans. Il faut donc dix-huit ans, contre vingt-cinq avec des intérêts simples. Au module 5, le logarithme te donnera ce résultat sans tâtonner.

Pour ne pas calculer les puissances une à une, écris quelques lignes de Python. Tu pars de n égale zéro et d'un capital c égal à un. Tant que c reste plus petit que deux, tu multiplies c par un virgule zéro quatre et tu ajoutes un à n. À la sortie de la boucle, n vaut dix-huit et c vaut environ deux virgule zéro deux six. Ce programme fait exactement ce que dit la question : il cherche le premier rang où la suite atteint le seuil. Change maintenant le taux, à deux pour cent puis à huit pour cent, et note les résultats. Tu les compareras au module 5 avec une formule exacte.

Retiens qu'une suite se définit par une formule ou par une relation de récurrence, et reconnais les deux familles de base : arithmétique quand on ajoute toujours la même quantité, géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre. Les intérêts composés donnent une suite géométrique, et c'est pour cela qu'une épargne finit par croître beaucoup plus vite qu'avec des intérêts simples. Mais un tableau de valeurs, aussi long soit-il, ne démontre rien sur ce qui se passe à l'infini. Dans la prochaine leçon, tu vas définir avec précision ce que veut dire qu'une suite tend vers une limite.