Une fonction pour décrire une relation économique

Bienvenue dans ce parcours de mathématiques pour l'économie et la gestion. Chaque outil que tu vas apprendre répond à une question concrète : à quel prix vendre, combien produire, comment partager un budget, combien rembourser chaque mois. La première étape est toujours la même : traduire la question en fonction. Dans cette leçon, tu vas apprendre à dire ce qui dépend de quoi, à fixer les valeurs qui ont un sens économique, et à lire un graphique sans te tromper d'axe. Ce sont des gestes simples, mais beaucoup d'erreurs de calcul viennent d'une fonction mal posée au départ.

Une fonction relie deux grandeurs : à chaque valeur de la première, elle associe une seule valeur de la seconde. Prends Mariama, qui vend du jus de bissap en bouteille à Dakar. Elle constate que plus son prix est élevé, moins elle vend. Le prix est la variable explicative, celle qu'elle décide. La quantité vendue est la variable expliquée. On écrit q égale f de p. Cette écriture t'oblige à préciser les unités : le prix en francs CFA par bouteille, la quantité en bouteilles par jour. Sans unités, un calcul juste peut mener à une décision fausse.

Supposons que Mariama ait noté ses ventes pendant plusieurs semaines, et que la relation suivante les résume bien : q égale 300 moins 0,5 fois p. Ce sont des chiffres d'exemple. À 200 francs la bouteille, elle vend 300 moins 100, soit 200 bouteilles par jour. À 400 francs, elle n'en vend plus que 100. À 600 francs, la quantité tombe à zéro : plus personne n'achète. Faire un petit tableau de valeurs, c'est le premier réflexe. Il te montre l'allure de la fonction et te permet de repérer une erreur grossière avant de te lancer dans des calculs plus longs.

Pour un mathématicien, la formule q égale 300 moins 0,5 p fonctionne avec n'importe quel nombre. Pour un économiste, non. Un prix négatif n'a pas de sens, une quantité négative non plus. Comme q devient négatif au-delà de 600 francs, le domaine utile va de 0 à 600. Il faut parfois ajouter d'autres limites. Si Mariama ne peut produire que 250 bouteilles par jour avec son matériel, elle n'en vendra jamais plus de 250, même à un prix très bas. Écris toujours le domaine à côté de la fonction : il t'évite des conclusions absurdes.

Sur un graphique, l'axe horizontal porte en principe la variable explicative, et l'axe vertical la variable expliquée. La demande de Mariama donne une droite qui descend : quand le prix monte, la quantité baisse. Attention à une habitude des économistes : dans les manuels, on place souvent le prix sur l'axe vertical et la quantité sur l'axe horizontal, même quand le prix est la variable de départ. Ce n'est pas une erreur, c'est une convention. Avant de lire un graphique, regarde donc toujours le nom et l'unité de chaque axe. C'est la première question à te poser.

Quand on place le prix en ordonnée, on utilise la demande inverse. Elle répond à une autre question : quel prix faut-il fixer pour vendre une quantité donnée ? Pour l'obtenir, tu isoles p. De q égale 300 moins 0,5 p, tu tires 0,5 p égale 300 moins q, puis p égale 600 moins 2 q. Si Mariama veut écouler 150 bouteilles par jour, elle doit fixer son prix à 600 moins 300, soit 300 francs. Les deux écritures décrivent la même relation. Tu choisis celle qui répond le plus directement à ta question.

Trois fonctions reviennent dans tout le parcours. La recette, ou chiffre d'affaires, est le prix multiplié par la quantité vendue. Le coût total additionne les coûts fixes, payés même si l'on ne produit rien, comme le loyer, et les coûts variables, qui augmentent avec la quantité, comme les fleurs de bissap, le sucre et les bouteilles. Le profit est la différence entre la recette et le coût. On le note souvent avec la lettre grecque pi. Retiens bien ces trois définitions : la plupart des questions de ce parcours consistent à rendre l'une d'elles la plus grande ou la plus petite possible.

Retiens trois réflexes. D'abord, une fonction associe à chaque valeur de départ une seule valeur d'arrivée, et tu dois savoir laquelle des deux grandeurs tu décides. Ensuite, une fonction économique a toujours des unités et un domaine qui a du sens. Enfin, avant de lire un graphique, regarde ce que portent les axes. Pour t'entraîner, choisis un produit que tu achètes souvent et imagine comment la quantité achetée varierait avec son prix. Dans la prochaine leçon, tu vas étudier la fonction la plus simple et la plus utilisée en gestion : la fonction affine.