Fonctions affines : coûts et seuil de rentabilité

La fonction affine est l'outil le plus simple de la modélisation, et l'un des plus utiles. Elle décrit toutes les situations où une grandeur augmente d'un montant fixe à chaque unité supplémentaire : le coût d'une production, le prix d'une course de taxi avec prise en charge, une facture d'électricité avec abonnement. Dans cette leçon, tu vas apprendre à lire ses deux paramètres, à calculer une pente à partir de deux points, et surtout à répondre à une question que se pose tout entrepreneur : combien dois-je vendre pour couvrir mes coûts ?

Une fonction affine s'écrit f de x égale a x plus b. Le nombre b est la valeur de départ, quand x vaut zéro. Le nombre a est la pente : chaque fois que x augmente d'une unité, f augmente de a. Si a est négatif, f diminue. Pour trouver la pente à partir de deux points, tu divises la variation de y par la variation de x. Par exemple, si une course en taxi à Montréal coûte 20 dollars pour 5 kilomètres et 30 dollars pour 10 kilomètres, la pente vaut 10 divisé par 5, soit 2 dollars par kilomètre, et la prise en charge vaut 10 dollars. Ces tarifs sont inventés pour l'exemple.

Prenons Ibrahima, qui tient un atelier de couture à Dakar. Chaque mois, il paie 150 000 francs CFA de charges fixes : loyer, électricité de base, entretien des machines. Chaque chemise lui coûte en plus 2 500 francs de tissu, de fil et de boutons. Ce sont des chiffres d'exemple. Son coût total s'écrit C de q égale 2 500 q plus 150 000, où q est le nombre de chemises du mois. La pente, 2 500, est le coût de chaque chemise supplémentaire. L'ordonnée à l'origine, 150 000, est ce qu'il paie même s'il ne coud rien du tout.

Ibrahima vend chaque chemise 5 000 francs. Sa recette est donc R de q égale 5 000 q : une droite qui part de zéro. Son profit est la recette moins le coût : 5 000 q moins 2 500 q moins 150 000, soit 2 500 q moins 150 000. Ce profit est lui aussi une fonction affine. Sa pente, 2 500 francs, s'appelle la marge sur coût variable : c'est ce que chaque chemise vendue apporte pour payer les charges fixes. Tant que les charges fixes ne sont pas couvertes, le profit reste négatif.

Le seuil de rentabilité est la quantité pour laquelle la recette couvre exactement le coût, autrement dit pour laquelle le profit est nul. Tu écris 5 000 q égale 2 500 q plus 150 000. Tu regroupes : 2 500 q égale 150 000, donc q égale 60. Ibrahima doit vendre 60 chemises par mois pour ne rien perdre. À 50 chemises, il perd 25 000 francs. À 80 chemises, il gagne 50 000 francs. Retiens la formule générale : le seuil est égal aux coûts fixes divisés par la marge sur coût variable de chaque unité.

Trace les deux droites dans GeoGebra, gratuit en ligne et sur téléphone. Tape C de x égale 2500 x plus 150000, puis R de x égale 5000 x. Attention, GeoGebra attend les nombres sans espace, et un point pour les décimales. La droite de coût part de 150 000, celle de recette part de zéro mais monte deux fois plus vite. Elles se croisent au point d'abscisse 60. À gauche du croisement, la recette est sous le coût : c'est la zone de perte. À droite, c'est la zone de bénéfice. La commande Intersection de R et C te donne le point exact.

Le modèle affine suppose que chaque chemise coûte toujours 2 500 francs et se vend toujours 5 000 francs. Dans la réalité, ce n'est vrai que dans une certaine plage. Si Ibrahima achète son tissu en gros, le coût unitaire peut baisser. S'il dépasse la capacité de ses machines, il devra payer des heures supplémentaires ou un deuxième couturier, et ses charges fixes changeront. Et pour vendre beaucoup plus, il devra peut-être baisser son prix. Le modèle reste très utile, à condition de dire dans quelle plage de quantités il s'applique.

Retiens que dans une fonction affine, la pente se lit comme une variation pour une unité de plus, et l'ordonnée à l'origine comme une valeur de départ. Dans un coût, ce sont le coût variable unitaire et les charges fixes. Le seuil de rentabilité s'obtient en divisant les charges fixes par la marge de chaque unité vendue. Pour t'entraîner, calcule le seuil d'une activité que tu connais, même avec des chiffres approximatifs. Dans la prochaine leçon, tu passes aux puissances et aux paraboles, qui apparaissent dès que le prix dépend de la quantité vendue.