Exponentielle et logarithme : croissance et intérêts

Beaucoup de grandeurs économiques évoluent en pourcentage plutôt qu'en montant fixe : une épargne qui rapporte des intérêts, des prix qui augmentent chaque année, la valeur d'une machine qui s'use. Pour les décrire, la fonction affine ne suffit plus. Il faut la fonction exponentielle, et pour revenir en arrière, le logarithme. Dans cette leçon, tu vas écrire une croissance à taux constant, voir le lien avec le nombre e, apprendre les règles du logarithme, et calculer combien de temps il faut pour qu'un montant double ou soit divisé par deux.

Kevin, à Montréal, place 2 000 dollars canadiens sur un compte qui rapporte 4 % par an, intérêts réinvestis. Après un an, il a 2 000 fois 1,04, soit 2 080 dollars. Après deux ans, il a 2 080 fois 1,04, et ainsi de suite. Après t années, il a 2 000 fois 1,04 puissance t. Au bout de dix ans, cela fait environ 2 960 dollars. La différence avec une fonction affine est importante : ici, on ne gagne pas le même montant chaque année, on gagne le même pourcentage, et ce pourcentage s'applique à un montant qui grandit.

En économie et en finance, tu rencontreras souvent le nombre e, environ 2,718, et la fonction exponentielle, e puissance x. Elle correspond à une croissance dont les intérêts seraient ajoutés en continu, à chaque instant. Avec la même épargne de 2 000 dollars à 4 % pendant dix ans, la formule continue donne 2 000 fois e puissance 0,4, soit environ 2 984 dollars, au lieu de 2 960. L'écart est faible pour des taux modérés. L'exponentielle est surtout pratique pour calculer : sa dérivée est elle-même, comme tu le verras au module 2.

Le logarithme népérien, noté l n, fait le chemin inverse de l'exponentielle : le logarithme de e puissance x redonne x. Sa propriété la plus utile transforme un produit en somme : le logarithme de a fois b égale le logarithme de a plus le logarithme de b. Une conséquence : le logarithme de a puissance n égale n fois le logarithme de a. C'est grâce à elle que tu peux faire descendre une inconnue placée en exposant. N'oublie pas que le logarithme n'existe que pour des nombres strictement positifs, et que le logarithme de 1 vaut zéro.

Kevin veut savoir quand son épargne aura doublé. Il cherche t tel que 1,04 puissance t égale 2. Il prend le logarithme des deux côtés : t fois le logarithme de 1,04 égale le logarithme de 2. Donc t égale le logarithme de 2 divisé par le logarithme de 1,04, soit environ 17,7 ans. Il existe une règle pratique : divise 70 par le taux en pourcentage. Ici, 70 divisé par 4 donne 17,5 ans, très proche. Avec un taux de 7 %, la règle donne 10 ans, et le calcul exact 10,2 ans. Cette règle ne vaut que pour des taux modérés.

La même logique décrit une baisse. Youssef, à Casablanca, achète une machine à 15 000 dirhams pour son atelier. Il estime qu'elle perd 20 % de sa valeur chaque année. Chaque année, la valeur est donc multipliée par 0,8. Après trois ans, elle vaut 15 000 fois 0,8 puissance 3, soit 7 680 dirhams. Pour savoir quand elle aura perdu la moitié de sa valeur, il résout 0,8 puissance t égale 0,5 : t égale le logarithme de 0,5 divisé par le logarithme de 0,8, soit environ 3,1 ans. Les deux logarithmes sont négatifs, et leur quotient est positif.

Le logarithme sert aussi à lire les croissances. Si une grandeur passe de 100 à 110, l'écart entre les deux logarithmes vaut environ 0,095, très proche du taux de 10 %. Pour de petites variations, l'écart des logarithmes est presque égal au taux de croissance. C'est pourquoi on trace souvent les séries de prix ou de production sur une échelle logarithmique : une grandeur qui croît à taux constant y apparaît comme une droite. Si la pente change, c'est que le taux de croissance a changé. Les tableurs proposent cette échelle dans les options de l'axe vertical.

Retiens qu'une grandeur qui évolue du même pourcentage à chaque période s'écrit avec une puissance : V zéro fois 1 plus r, puissance t. Le logarithme transforme les produits en sommes et te permet de trouver une durée cachée dans un exposant. Pour un ordre de grandeur rapide, le temps de doublement vaut environ 70 divisé par le taux en pourcentage. Dans le lab de ce module, tu vas modéliser les coûts, la demande et la recette d'une petite activité, trouver ses seuils de rentabilité et vérifier tes calculs dans un tableur ou avec GeoGebra.