Les taux, prix et offres de crédit de ce parcours sont des exemples de calcul : ils ne constituent pas un conseil financier personnalisé, et les règles du crédit dépendent de ton pays.
Dériver rapidement les fonctions usuelles : puissances, polynômes, produits, quotients, fonctions composées, exponentielle et logarithme.
La leçon, diapositive par diapositive
Diapositive 1 sur 8
Objectif de la leçon
Dériver une puissance et un polynôme
Dériver un produit, un quotient, une composée
Dériver l'exponentielle et le logarithme
Voix off
Calculer une limite à chaque fois serait trop long. Heureusement, quelques règles suffisent pour dériver presque toutes les fonctions que tu rencontreras en économie et en gestion. Dans cette leçon, tu vas apprendre la règle des puissances, la dérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient, la règle de la chaîne pour les fonctions composées, et les dérivées de l'exponentielle et du logarithme. Pour chaque règle, tu verras un exemple tiré d'une situation économique. Garde une feuille à côté de toi et refais chaque calcul pendant que tu écoutes.
Diapositive 2 sur 8
Constantes et puissances
(k)' = 0 pour une constante k
(x^n)' = n × x^(n-1)
(x²)' = 2x ; (x³)' = 3x² ; (√x)' = 1 / (2√x)
(1/x)' = -1/x²
Voix off
La dérivée d'une constante est nulle : un coût fixe ne varie pas quand la quantité change. Pour une puissance de x, tu fais descendre l'exposant devant et tu retires 1 à l'exposant. La dérivée de x au carré est 2 x, celle de x au cube est 3 x au carré. La règle marche aussi pour les exposants décimaux et négatifs. La racine carrée, c'est x puissance 0,5 : sa dérivée est 0,5 fois x puissance moins 0,5, soit 1 sur deux racine de x. Et 1 sur x, c'est x puissance moins 1 : sa dérivée est moins 1 sur x au carré.
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et un coefficient multiplicateur reste devant. Tu peux donc dériver un polynôme terme à terme. Pour le coût d'Élodie, 0,02 q au carré donne 0,04 q, 30 q donne 30, et la constante 5 000 disparaît. Tu retrouves 0,04 q plus 30, sans calcul de limite. Fais de même avec le coût en forme de S du module 1 : q au cube moins 30 q au carré plus 400 q plus 2 000 a pour dérivée 3 q au carré moins 60 q plus 400. Tu t'en serviras au module 3.
Pour un produit, la dérivée n'est pas le produit des dérivées. Elle vaut u prime fois v, plus u fois v prime. En économie, l'exemple le plus important est la recette, égale à la quantité multipliée par le prix, quand le prix dépend de la quantité. Sa dérivée vaut le prix, plus la quantité multipliée par la dérivée du prix. Le premier terme est ce que rapporte l'unité vendue en plus. Le second est ce que l'on perd sur toutes les autres unités, parce qu'il a fallu baisser le prix. Pour un quotient, la formule est sur la diapositive.
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Les fonctions composées
Si f(x) = g(h(x)), alors f'(x) = g'(h(x)) × h'(x)
(1 + 0,05x)^10 a pour dérivée 10 × (1 + 0,05x)^9 × 0,05
Dériver l'extérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur
Voix off
Une fonction composée applique une fonction à une autre. Par exemple, 1 plus 0,05 x, le tout puissance 10. Pour la dériver, tu dérives d'abord l'extérieur comme si l'intérieur était une simple variable : 10 fois l'intérieur puissance 9. Puis tu multiplies par la dérivée de l'intérieur, ici 0,05. C'est la règle de la chaîne. Elle sert dès qu'une grandeur dépend d'une autre qui dépend elle-même d'une troisième : la recette dépend des ventes, qui dépendent du prix, qui dépend du temps. La dérivée finale est le produit des dérivées successives.
L'exponentielle a une propriété unique : elle est sa propre dérivée. Avec la règle de la chaîne, e puissance k x a pour dérivée k fois e puissance k x. Le logarithme a pour dérivée 1 sur x, et le logarithme d'une fonction u a pour dérivée u prime sur u. Reprends l'épargne de Kevin en croissance continue : 2 000 fois e puissance 0,04 t. Sa dérivée vaut 80 fois e puissance 0,04 t. Au départ, l'épargne grandit de 80 dollars par an, soit 4 % de 2 000. Plus tard, elle grandit plus vite, car le montant est plus grand.
Faisons un exemple complet avec le coût moyen d'Élodie. Diviser son coût par q donne 0,02 q plus 30 plus 5 000 sur q. Tu dérives terme à terme : 0,02 q donne 0,02, la constante 30 disparaît, et 5 000 sur q donne moins 5 000 sur q au carré. En 100 chaises, la dérivée vaut 0,02 moins 0,5, soit moins 0,48. Le coût moyen baisse donc d'environ 48 centimes par chaise supplémentaire. À 500 chaises, la dérivée vaut 0,02 moins 0,02, soit zéro : le coût moyen est à son plus bas. Tu reverras ce point au module 3.
Diapositive 8 sur 8
À retenir
Puissance : descendre l'exposant, puis lui retirer 1
Retiens la règle des puissances, valable pour tous les exposants, et la dérivation terme à terme des sommes. Pour un produit, pense à u prime v plus u v prime ; pour une composée, à la dérivée de l'extérieur multipliée par celle de l'intérieur. L'exponentielle est sa propre dérivée, et le logarithme se dérive en 1 sur x. Pour t'entraîner, dérive 5 q au cube moins 2 q plus 7, puis e puissance 0,1 t, et vérifie avec GeoGebra. Dans la prochaine leçon, tu vas voir ce que la dérivée signifie pour un économiste : une grandeur marginale.
À retenir
(x^n)' = n × x^(n-1), aussi pour des exposants décimaux ou négatifs.
On dérive une somme terme à terme ; un produit et un quotient ont leurs propres formules.
(e^x)' = e^x et (ln x)' = 1/x ; pour une composée, on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
Fais les exercices, le quiz et obtiens ton certificat dans ton espace
Avec ton compte, les deux premiers modules sont offerts : leçons, labs, simulations, quiz et tuteur. Débloque la suite du parcours pour 100 000 GNF. Le certificat vérifiable, délivré à la fin, coûte 399 000 GNF.
Indépendance. Ce parcours est indépendant : il n'est affilié ni à l'équipe de GeoGebra, ni à Microsoft, éditeur d'Excel, ni à The Document Foundation, qui publie LibreOffice.
