Du taux de variation à la dérivée

Au module 1, tu as calculé des pentes de droites. Mais la plupart des fonctions économiques ne sont pas des droites : la recette de Mariama est une parabole, et un coût de production peut s'emballer. Leur pente change d'un point à l'autre. La dérivée mesure cette pente en un point précis. C'est l'outil central de ce parcours, car c'est lui qui répond aux questions du type : que se passe-t-il si je produis une unité de plus ? Dans cette leçon, tu vas passer du taux de variation moyen à la dérivée, et apprendre à la lire.

Élodie dirige un petit atelier de chaises à Bruxelles. Son coût mensuel, en euros, vaut 0,02 q au carré plus 30 q plus 5 000, où q est le nombre de chaises. Ce sont des chiffres d'exemple. Pour 100 chaises, le coût est de 8 200 euros. Pour 120 chaises, il est de 8 888 euros. Les 20 chaises supplémentaires ont donc coûté 688 euros, soit 34,40 euros par chaise en moyenne. Ce nombre est le taux de variation moyen entre 100 et 120. C'est la pente de la droite qui relie les deux points de la courbe.

Que se passe-t-il si l'on rapproche le second point du premier ? Entre 100 et 101 chaises, le taux vaut 34,02 euros. Entre 100 et 100,1, il vaut 34,002. Plus l'écart h est petit, plus le taux s'approche de 34. Ce nombre limite est la dérivée du coût en q égale 100. Sur le graphique, la droite qui relie les deux points devient la tangente à la courbe : la droite qui touche la courbe en ce point en suivant sa direction. La dérivée est la pente de cette tangente.

On définit la dérivée de f en a comme la limite du taux de variation entre a et a plus h, quand h tend vers zéro. Pour le coût d'Élodie, tu peux faire le calcul à la main. Tu développes C de 100 plus h, tu retranches C de 100, et tu divises par h. Il reste 34 plus 0,02 h. Quand h tend vers zéro, le terme 0,02 h disparaît, et il reste 34. La dérivée du coût en 100 vaut donc 34 euros par chaise. Rassure-toi : tu n'auras pas à refaire ce calcul à chaque fois, la leçon suivante te donne des règles rapides.

Tu verras plusieurs notations. La plus courante est f prime de x. Les économistes écrivent aussi d y sur d x, qui rappelle qu'il s'agit d'un rapport entre une petite variation de y et une petite variation de x. La dérivée n'est pas un seul nombre : elle prend une valeur en chaque point, c'est donc une fonction. Pour le coût d'Élodie, la dérivée vaut 0,04 q plus 30. En 100, elle vaut 34 ; en 200, elle vaut 38 ; en 500, elle vaut 50. Chaque chaise coûte un peu plus que la précédente.

Le signe de la dérivée t'indique le sens de variation. Si elle est positive, la fonction augmente autour du point ; si elle est négative, elle diminue. Sa valeur te dit à quelle vitesse. Et n'oublie jamais son unité : c'est l'unité de y divisée par l'unité de x. Pour Élodie, des euros par chaise. Pour une recette en francs CFA qui dépend d'un prix en francs CFA, des francs de recette par franc de prix. Pour une épargne qui dépend du temps, des dollars par an. Une dérivée sans unité est souvent une dérivée mal comprise.

Prends l'habitude de vérifier tes dérivées. Dans GeoGebra, tape la fonction avec un point décimal et l'accent circonflexe pour la puissance, puis la commande Dérivée de C. GeoGebra affiche la fonction dérivée et sa courbe. Dans un tableur, tu peux faire une vérification numérique : calcule le coût en 100 et en 100,01, fais la différence et divise par 0,01. Tu dois trouver presque 34. Si ton calcul à la main donne autre chose, cherche l'erreur avant d'aller plus loin. Cette vérification prend une minute et évite beaucoup de fautes.

Retiens que le taux de variation moyen est la pente de la droite qui relie deux points de la courbe, et que la dérivée est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent : c'est la pente de la tangente. La dérivée est une fonction, avec un signe, une valeur et une unité. Pour t'entraîner, reprends la recette de Mariama, 600 q moins 2 q au carré, et calcule son taux de variation entre 100 et 101 bouteilles. Dans la prochaine leçon, tu vas apprendre les règles qui permettent de dériver presque toutes les fonctions en quelques secondes.