La dérivée, une grandeur marginale

En économie, le mot marginal désigne ce qui se passe à la marge, c'est-à-dire pour une unité de plus : une chaise de plus, un client de plus, un ouvrier de plus, mille francs de revenu en plus. Or la dérivée mesure justement la variation pour un petit pas. Une grande partie du raisonnement économique repose donc sur la dérivée. Dans cette leçon, tu vas calculer un coût marginal, une recette marginale, un profit marginal et une productivité marginale, et tu vas apprendre à ne pas confondre une grandeur marginale avec une moyenne.

Dans l'atelier d'Élodie, une question revient chaque fois qu'une commande arrive : combien va coûter la chaise suivante ? La réponse porte un nom, le coût marginal. Une chaise de plus, c'est un tout petit pas sur la courbe du coût total, et la dérivée mesure justement ce qui se passe pour un petit pas. Pour Élodie, elle vaut 0,04 q plus 30. Lis-la en deux morceaux : 30 euros de base pour chaque chaise, puis 4 euros de plus par centaine de chaises déjà fabriquées dans le mois, par exemple parce qu'un atelier chargé paie des heures supplémentaires. À 100 chaises par mois, la suivante coûte environ 34 euros ; à 250, environ 40. Tu as ainsi une formule valable à tous les niveaux de production, et c'est elle que tu optimiseras au module 3.

Passons du côté des ventes. Combien rapporte la bouteille de bissap suivante ? Dérive la recette de Mariama, 600 q moins 2 q au carré : tu trouves 600 moins 4 q. À 100 bouteilles par jour, cela fait environ 200 francs, la moitié seulement du prix de 400 francs. D'où vient l'écart ? Pour écouler une bouteille de plus, Mariama doit baisser un peu son prix, et cette baisse touche aussi les 100 bouteilles qu'elle vendait déjà. Le gain sur la nouvelle bouteille est en partie mangé par la perte sur les autres. À 150 bouteilles, les deux s'équilibrent : la recette marginale tombe à zéro et la recette totale atteint son sommet. Plus loin, chaque bouteille en plus fait reculer la recette.

Il reste à mettre les deux côtés face à face. Ce que rapporte la bouteille suivante, moins ce qu'elle coûte : voilà le profit marginal. Le profit étant la recette moins le coût, et la dérivée d'une différence étant la différence des dérivées, il s'écrit Rm moins Cm. La règle de décision tient en une ligne : tant que ce nombre est positif, augmente la production ; s'il devient négatif, tu es allé trop loin. Supposons que chaque bouteille coûte 100 francs à Mariama, fleurs d'hibiscus, sucre et emballage compris. À 100 bouteilles, la suivante rapporte environ 200 francs et en coûte 100 : elle a intérêt à vendre davantage. Jusqu'où ? Le module 3 te le dira.

La dérivée s'applique aussi à la production. Reprends la briqueterie de Kinshasa, où la production vaut 10 fois la racine carrée du nombre d'ouvriers. Sa dérivée, 5 divisé par la racine de L, est la productivité marginale du travail : ce qu'ajoute un ouvrier de plus. Avec 25 ouvriers, elle vaut 5 divisé par 5, soit une centaine de briques par jour. Avec 100 ouvriers, elle tombe à 0,5. La dérivée est positive mais décroissante : chaque ouvrier supplémentaire ajoute un peu moins. C'est la traduction mathématique des rendements décroissants.

En macroéconomie, on utilise la propension marginale à consommer. Si la consommation d'un ménage dépend de son revenu Y selon la fonction 40 000 plus 0,8 Y, sa dérivée vaut 0,8. Cela signifie que sur 1 000 unités de revenu supplémentaire, le ménage en consomme environ 800 et en épargne 200. Ce modèle est volontairement simple, et ces chiffres sont des exemples : les vraies propensions se mesurent à partir d'enquêtes et varient selon les pays et les revenus. Tu retrouveras ce coefficient au module 7, dans le calcul du multiplicateur.

Attention à une confusion fréquente. Pour 100 chaises, le coût total d'Élodie est de 8 200 euros : son coût moyen est donc de 82 euros par chaise. Mais son coût marginal n'est que de 34 euros. Les deux nombres répondent à des questions différentes. Le coût moyen dit combien chaque chaise a coûté en moyenne, coûts fixes compris. Le coût marginal dit combien coûtera la prochaine. Si un client propose d'acheter une chaise de plus à 50 euros, Élodie gagne de l'argent sur cette vente, même si 50 euros est sous son coût moyen.

Retiens que, pour un économiste, la dérivée d'une grandeur totale est une grandeur marginale : coût, recette, profit, productivité, consommation. Elle mesure l'effet d'une unité de plus. Si la recette marginale dépasse le coût marginal, produire une unité de plus augmente le profit. Et ne confonds jamais le marginal avec le moyen : ils répondent à des questions différentes. Pour t'entraîner, calcule le coût marginal et le coût moyen d'Élodie pour 300 chaises. Dans la prochaine leçon, tu vas voir l'élasticité, qui mesure en pourcentage la sensibilité de la demande au prix.