Puissances, paraboles et coûts non linéaires

Dans la leçon précédente, le prix de vente restait fixe. Mais si Mariama veut vendre plus de jus de bissap, elle doit baisser son prix. Sa recette n'est alors plus une droite : elle monte, atteint un maximum, puis redescend. Pour décrire ce genre de situation, tu as besoin des puissances et des polynômes. Dans cette leçon, tu vas revoir les règles de calcul sur les puissances, apprendre à trouver le sommet d'une parabole sans dérivée, et voir comment une fonction puissance décrit une production qui progresse de moins en moins vite.

Rappelons les règles des puissances, car elles servent partout en économie. Quand tu multiplies deux puissances du même nombre, tu additionnes les exposants. Quand tu élèves une puissance à une autre puissance, tu multiplies les exposants. Un exposant de 0,5 correspond à la racine carrée, et un exposant de moins 1 à l'inverse. Par exemple, 16 puissance 0,5 vaut 4, et 16 puissance 0,25 vaut 2. Ces exposants décimaux reviendront dans les fonctions de production du module 4. Sur ta calculatrice ou dans un tableur, la touche puissance ou l'accent circonflexe font le calcul.

Reprenons Mariama et sa demande inverse : p égale 600 moins 2 q. Sa recette est le prix multiplié par la quantité, donc q fois 600 moins 2 q, soit 600 q moins 2 q au carré. C'est un polynôme du second degré, et sa courbe est une parabole tournée vers le bas, car le coefficient de q au carré est négatif. Calcule quelques valeurs : à 100 bouteilles, la recette vaut 40 000 francs ; à 150, elle vaut 45 000 ; à 200, elle redescend à 40 000. Vendre plus ne rapporte pas toujours plus, parce qu'il faut baisser le prix pour y arriver.

Le sommet d'une parabole se trouve à l'abscisse moins b divisé par deux a. Pour la recette de Mariama, a vaut moins 2 et b vaut 600. Le sommet est donc en q égale moins 600 divisé par moins 4, soit 150 bouteilles. Le prix correspondant est 600 moins 2 fois 150, soit 300 francs, et la recette maximale vaut 45 000 francs par jour. Attention : c'est la recette maximale, pas le profit maximal. Pour le profit, il faudra aussi tenir compte des coûts, ce que tu feras au module 3 avec les dérivées.

Un coût n'est pas toujours affine. Dans beaucoup d'activités, il augmente d'abord de moins en moins vite, tant que l'atelier gagne en efficacité, puis de plus en plus vite quand on approche de la capacité : il faut payer des heures supplémentaires, et l'usure des machines s'accélère. On le modélise souvent par un polynôme du troisième degré, comme C de q égale q au cube moins 30 q au carré plus 400 q plus 2 000, en euros par exemple. Entre 10 et 20 unités, le coût augmente de 2 000 euros. Entre 20 et 30 unités, il augmente de 8 000 euros. Le même effort de production coûte de plus en plus cher.

Les fonctions puissance décrivent aussi la production. Imagine une briqueterie de Kinshasa où la production du jour vaut 10 fois la racine carrée du nombre d'ouvriers, en centaines de briques. Avec 4 ouvriers, on fabrique 20 centaines de briques ; avec 16, on en fabrique 40 ; avec 36, on en fabrique 60. Pour passer de 20 à 40, il a fallu 12 ouvriers de plus, mais pour passer de 40 à 60, il en a fallu 20. Chaque ouvrier supplémentaire ajoute un peu moins que le précédent, car le four et la cour ne grandissent pas. On parle de rendements décroissants.

Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité produite. Pour l'atelier de couture d'Ibrahima, il vaut 2 500 plus 150 000 divisé par q. Le terme 150 000 sur q est une fonction inverse, dont la courbe est une hyperbole. Plus Ibrahima coud de chemises, plus ses charges fixes se répartissent sur un grand nombre de pièces. À 60 chemises, chaque chemise lui coûte en moyenne 5 000 francs, exactement son prix de vente : c'est son seuil de rentabilité. À 150 chemises, le coût moyen tombe à 3 500 francs. Il ne descend jamais sous 2 500.

Retiens que la recette d'une entreprise qui doit baisser son prix pour vendre plus est une parabole, avec un sommet en moins b sur deux a. Retiens aussi qu'un coût peut monter de plus en plus vite près de la capacité, et qu'une production en puissance inférieure à 1 traduit des rendements décroissants. Le coût moyen, lui, baisse quand les charges fixes se répartissent sur plus d'unités. Pour t'entraîner, trace la recette de Mariama dans GeoGebra et place son sommet. Dans la prochaine leçon, tu verras l'exponentielle et le logarithme, indispensables pour les intérêts et la croissance.